设A是n阶矩阵,满足A^2-2A+E=O,则（A+2E)^(-1)=?

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/11/15 10:18:55

设A是n阶矩阵,满足A^2-2A+E=O,则（A+2E)^(-1)=?
设A是n阶矩阵,满足A^2-2A+E=O,则（A+2E)^(-1)=?

设A是n阶矩阵,满足A^2-2A+E=O,则（A+2E)^(-1)=?
小心!答案不是 3^(-n)*E
【分析】（可用构造法、或待定系数法）
解这类题的基本思路是：首先构造出 (A+2E)(aA+bE) ＝ E,只要两个矩阵的乘积为E,我们就可以说,矩阵（A+2E）可逆,且逆矩阵为（aA+bE）.（其中,a、b为常数）

【解】（待定系数法）
假设（A+2E）可逆, 且有 (A+2E)(aA+bE) ＝ E ,其中,a、b为常数

化简得, aA² + (2a+b)A + (2b-1)E = O

而,A² - 2A + E = O

待定系数法, 令 k*[A² - 2A + E] = O （k为任意常数）

解方程组
a = 1*k
2a+b = (-2)*k
2b-1 = 1*k
解得,a = k = -1/9,b= 4/9

即,(A+2E)*[ (-1/9)A + (4/9)E ] ＝ E

综上所述, 矩阵(A+2E)可逆,且(A+2E)^-1 ＝ (-1/9)A + (4/9)E

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小心！！答案不是 3^(-n)*E
【分析】（可用构造法、或待定系数法）
解这类题的基本思路是：首先构造出 (A+2E)(aA+bE) ＝ E，只要两个矩阵的乘积为E，我们就可以说，矩阵（A+2E）可逆，且逆矩阵为（aA+bE）。（其中，a、b为常数）
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【解】（待定系数法）
假设（A+2E）可逆，且有 (A+2E)(aA+bE) ＝ E ，其中，a、b为常数

化简得， aA² + (2a+b)A + (2b-1)E = O

而，A² - 2A + E = O

待定系数法，令 k*[A² - 2A + E] = O （k为任意常数）

解方程组
a = 1*k
2a+b = (-2)*k
2b-1 = 1*k
解得，a = k = -1/9，b= 4/9

即，(A+2E)*[ (-1/9)A + (4/9)E ] ＝ E

综上所述，矩阵(A+2E)可逆，且(A+2E)^-1 ＝ (-1/9)A + (4/9)E

收起

设A是n阶矩阵,满足A^2-2A+E=O,则（A+2E)^(-1)=? 设A是n阶矩阵,满足A^2-A-2E=o,证明r(A-2E)r(A+E)=n 线性代数：设A是n阶矩阵,满足A^2=A.证明：r(A)+r(A-E)=n 设A为n阶实对称矩阵,且满足A^3-2A^2+4A-3E=O,证明A为正定矩阵设A为n阶实对称矩阵,且满足A^3-2A^2+4A-3E=O,证明A为正定矩阵设n阶方阵A满足A2-5A+5E=O,证明矩阵A-2E可逆,并求其逆矩阵. 设n阶方阵A满足A2-5A+5E=O,证明矩阵A-2E可逆,并求其逆矩阵设n阶矩阵A满足A^2=E,且|A+E|≠0,证明A=E 设n阶矩阵A满足A^2=E,且|A+E|≠0,证明A=E线性代数设矩阵A满足A^2=E.证明:A+2E是可逆矩阵. 设n阶矩阵A满足A的2次方=E,证明A的特征值只能是正负1 设矩阵A满足A的平方=E,证明A+2E是可逆矩阵设n阶矩阵A满足A^2=A,E为n阶单位矩阵,证明r(A)+r(A-E)=n 设n阶实方阵A满足A^2-4A+3E=0,证明 B=(2E-A)^T(2E-A)是正定矩阵设n阶矩阵A满足A^2-5A+5E=0,其中E为n阶单位矩阵,则（A-2E）^(-1)= 设N阶矩阵A满足A^2-2A+3E=0 ,则秩A=N 设n阶矩阵A满足A^2=A,且r(A)=r,则|2E-A|= 设n阶矩阵A满足A^2=A且A≠E,证明｜A｜=0