作业帮请问怎样证明梅涅劳斯定理以及塞瓦定理还有梅涅劳斯定理以及塞瓦定理的逆定理是什么
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/13 14:26:27
请问怎样证明梅涅劳斯定理以及塞瓦定理还有梅涅劳斯定理以及塞瓦定理的逆定理是什么
请问怎样证明梅涅劳斯定理以及塞瓦定理
还有梅涅劳斯定理以及塞瓦定理的逆定理是什么
请问怎样证明梅涅劳斯定理以及塞瓦定理还有梅涅劳斯定理以及塞瓦定理的逆定理是什么
梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的.它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点,那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1.
或：设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上,则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1 .
逆定理：设D、E、F、分别是三角形ABC的三边AB、BC、CA、或其延长线上的点,若（BD/CD）*（CE/EA）*（AF/FB）=1．则D、E、F三点共线.梅涅劳斯逆定理常用来证明三点共线问题,如：笛沙格定理,帕斯卡定理,蝴蝶定理都可用梅涅劳斯定理来证明.
证明：过点C作CP∥DF交AB于P,则BD/DC=FB/PF,CE/EA=PF/AF
所以有AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×FB/PF×PF/AF=1
塞瓦定理
在△ABC内任取一点O,
直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F,则 (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1
证法简介
本题可利用梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）证明：
∵△ADC被直线BOE所截,
∴ (DB/BC)*(CE/EA)*(AO/OD)=1 ①
∵△ABD被直线COF所截,
∴ (BC/CD)*(AF/FB)*(DO/OA)=1 ②
②*①:即得：(DB/BC)*(CE/EA)*(AO/OD)*(BC/CD)*(AF/FB)*(DO/OA)=1
∴(DB/CD)*(CE/EA)*(AF/FB)=1
也可以利用面积关系证明
∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③
同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤
逆定理：如果M,N,P分别在三角形ABC的边AB,BC,CA上,且满足AM/MB*BN/NC*CP/PA=1,那么AN,BP,CM相交于一点或平行.