设α∈（0,Pi/2 ）,函数f(x)的定义域为[0,1],且f(0) = 0,f(1) =1,当x≥ y时,有f（(x+y)/2 ）= f(x)sinα+ (1- sinα)f(y)．（1）求f(1/2 )、f(1/4 )；（2）求α的值.

设α∈（0,Pi/2 ）,函数f(x)的定义域为[0,1],且f(0) = 0,f(1) =1,当x≥ y时,有f（(x+y)/2 ）= f(x)sinα+ (1- sinα)f(y)．（1）求f(1/2 )、f(1/4 )；（2）求α的值.
设α∈（0,Pi/2 ）,函数f(x)的定义域为[0,1],且f(0) = 0,f(1) =1,当x≥ y时,有f（(x+y)/2 ）= f(x)sinα+ (1- sinα)f(y)．
（1）求f(1/2 )、f(1/4 )；
（2）求α的值.

设α∈（0,Pi/2 ）,函数f(x)的定义域为[0,1],且f(0) = 0,f(1) =1,当x≥ y时,有f（(x+y)/2 ）= f(x)sinα+ (1- sinα)f(y)．（1）求f(1/2 )、f(1/4 )；（2）求α的值.
设α∈(0,π/2),函数f(x)的定义域为[0,1],且f(0)=0,f(1)=1,
当x≥y时,有f((x+y)/2)=sinαf(x)+(1-sinα)f(y)；
(1)求f(1/2)、f(1/4)；(2)求α的值.
解析：注意只能当x≥y时,才有f((x+y)/2)=sinαf(x)+(1-sinα)f(y)——(1)；
并且尝试可以发现,如果令x=y,则表达式(1)没有意义；
于是在x≥y的前提下,结合题目中出现的0、1、1/2、1/4等数据,尝试如下：
令x=1、y=0,则
f(1/2)=sinαf(1)+(1-sinα)f(0)=sinα×1+(1-sinα)×0=sinα；
令x=1/2、y=0,则
f(1/4)=sinαf(1/2)+(1-sinα)f(0)=sinα×sinα+(1-sinα)×0=sin²α；
令x=1、y=1/2,则
f(3/4)=sinαf(1)+(1-sinα)f(1/2)=sinα×1+(1-sinα)×sinα
=2sinα-sin²α；
令x=3/4、y=1/4,则
f(1/2)=sinαf(3/4)+(1-sinα)f(1/4)
=sinα×(2sinα-sin²α)+(1-sinα)×sin²α
=3sin²α-2sin³α=sinα；
则3sin²α-2sin³α=sinα,解得sinα=0或1/2或1；
∵α∈(0,π/2),∴0

（1）令x=1，y=0，则f(1/2)=f(1)sinα+(1-sinα)f(0)
∵f(0) = 0,f(1) =1
∴f(1/2)=sinα
令x=1/2，y=0，则f(1/4)=f(1/2)sinα+(1-sinα)f(0)
∵f(0) = 0,f(1/2)=sinα
∴f(1/4)=sin²α
(2)令x=1/4，y=1/4，则f(...

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（1）令x=1，y=0，则f(1/2)=f(1)sinα+(1-sinα)f(0)
∵f(0) = 0,f(1) =1
∴f(1/2)=sinα
令x=1/2，y=0，则f(1/4)=f(1/2)sinα+(1-sinα)f(0)
∵f(0) = 0,f(1/2)=sinα
∴f(1/4)=sin²α
(2)令x=1/4，y=1/4，则f(1/4)=f(1/2)sinα+(1-sinα)f(1/2)
∴sin²α=sin²α+（1-sinα）sinα=1
∵α∈【0，π/2】,
∴α=π/2

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1
令X=1，Y=0
F（1/2）=F[（1+0）/2]=F（1）*SINA+（1-SINA）*F（0）=SINA
令X=1/2，Y=0
F（1/4）=F[（1/2+0）/2]=F（1/2）*SINA+（1-SINA）*F（0）=（SINA）平方
2
令X=1，Y=1/2
F（3/4）=F（1）*SINA+（1-SINA）*F（1/2）=SI...

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1
令X=1，Y=0
F（1/2）=F[（1+0）/2]=F（1）*SINA+（1-SINA）*F（0）=SINA
令X=1/2，Y=0
F（1/4）=F[（1/2+0）/2]=F（1/2）*SINA+（1-SINA）*F（0）=（SINA）平方
2
令X=1，Y=1/2
F（3/4）=F（1）*SINA+（1-SINA）*F（1/2）=SINA+SINA-SINA方=2SINA-SINA方
令X=3/4，Y=1/4
F（1/2）=F（3/4）*SINA+（1-SINA）*F（1/4）=SINA
2SINA方-SINA立+SINA方-SINA立=SINA
3SINA方=SINA
SINA=1/3

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只能做这么多了

（1）
x=1,y=0
f((0+1)/2)=f(1/2)=f(1)sina+(1-sina)f(0)
=sina=f(1/2)
x=1/2,y=0
f((1/2+0)/2=f(1/2)sina-(1-sina)f(0)
=sina*sina=sin^2a
(2)
x=2,y=0
f((0+2)/2)=f(1)=f(2)sin...

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（1）
x=1,y=0
f((0+1)/2)=f(1/2)=f(1)sina+(1-sina)f(0)
=sina=f(1/2)
x=1/2,y=0
f((1/2+0)/2=f(1/2)sina-(1-sina)f(0)
=sina*sina=sin^2a
(2)
x=2,y=0
f((0+2)/2)=f(1)=f(2)sina+(1-sina)*f(0)
1=f(2)sina,f(2)=1/sina
x=2,y=1
f(3/2)=f(2)sina+(1-sina)f(1)
=1+1-sina=2-sina
x=3/2,y=1/2
f((3/2+1/2)/2)=f(1)=1=f(3/2)sina+(1-sina)*f(1/2)
1=sina(2-sina)+(1-sina)sina
1=2sina-sin^2a+sina-sin^2a
2sin^2a-3sina+1=0
(1-sina)(1-2sina)=0
a∈（0，π/2),sina≠1,所以
1-2sina=0
sina=1/2
a=π/2
f(1/2)=sina=1/2
f(1/4)=sin^2a=(1/2)^2=1/4

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(1)
令x=1，y=0
f(1/2)=f((1+0)/2)=f(1)sinα+(1-sinα)f(0)=sinα
令x=1/2，y=0
f(1/4)=f((1/2+0)/2)=f(1/2)sinα+(1-sinα)f(0)=(sinα)^2
(2)
令x=0,y=1
f(1/2)=f((0+1)/2)=f(0)sinα+(1-sinα)f(...

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(1)
令x=1，y=0
f(1/2)=f((1+0)/2)=f(1)sinα+(1-sinα)f(0)=sinα
令x=1/2，y=0
f(1/4)=f((1/2+0)/2)=f(1/2)sinα+(1-sinα)f(0)=(sinα)^2
(2)
令x=0,y=1
f(1/2)=f((0+1)/2)=f(0)sinα+(1-sinα)f(1)=1-sinα
结合(1)中得到的f(1/2)可知，sinα=1-sinα
∴sinα=1/2
又α∈(0,π/2)
∴α=π/6
代入(1)中的两个表达式，f(1/2)=1/2，f(1/4)=1/4

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