作业帮已知a b c d 都大于0,且a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd=0求证a=b=c=d
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/17 17:23:04
已知a b c d 都大于0,且a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd=0求证a=b=c=d
已知a b c d 都大于0,且a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd=0
求证a=b=c=d
已知a b c d 都大于0,且a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd=0求证a=b=c=d
证明：
a*4+b*4+c*4+d*4-4abcd
=（a²-b²）²+（c²-d²）²+2a²b²+2c²d²-4abcd
=（a²-b²）²+（c²-d²）²+2（ab-cd）²
∵a*4+b*4+c*4+d*4-4abcd=0
∴a²-b²=0 即a=b
c²-d²=0 即c=d
ab-cd=0 即ab=cd
又∵a,b,c,d都大于0
∴a=b=c=d
a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd 两边同时减去2(ab)^2+2(cd)^2
--->(a^4-2a^2*b^2+b^)+(c^4-2c^2*d^2+d^4)=4abcd-2a^2*b^2-2c^2*d^2
--->(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2=-2(ab-cd)^2
--->(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2+2(ab-cd)^2=...
全部展开
a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd 两边同时减去2(ab)^2+2(cd)^2
--->(a^4-2a^2*b^2+b^)+(c^4-2c^2*d^2+d^4)=4abcd-2a^2*b^2-2c^2*d^2
--->(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2=-2(ab-cd)^2
--->(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2+2(ab-cd)^2=0平方和是0，则各底数都是0
所以a^2-b^2=0,c^2-d^2=0,ab-cd=0
在a,b,c,d>0的条件下
有a=b,c=d,ab=cd
同理可证:a=c,b=d,ac=bd
因此a=b=c=d.
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