复合函数用换元法再泰勒展开,为何不用对所换的元进行求导而是直接往回带就可以了?

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 14:54:13

复合函数用换元法再泰勒展开,为何不用对所换的元进行求导而是直接往回带就可以了?
复合函数用换元法再泰勒展开,为何不用对所换的元进行求导而是直接往回带就可以了?

复合函数用换元法再泰勒展开,为何不用对所换的元进行求导而是直接往回带就可以了?
老老实实算是对的,没问题,你大可以这么做.但是你会发现,所有x的奇次项前面的系数都等于零.这是因为在exp(-x^2/2)对x求导时,
导一次就是 -xexp(-x^2/2),代入x=0就是0；
导二次就是 -exp(-x^2/2) + x^2exp(-x^2/2),代入x=0就是-1；
导三次就是 -xexp(-x^2/2) + 2xexp(-x^2/2) - x^3exp(-x^2/2),代入x=0还是0；
.
你导奇数次,exp前总会出来一个x,所以你代入x=0就总是0,对应的泰勒级数项就不存在了.剩下的偶次幂的项就正好是答案.
可以进行代换的原因是当x趋于0时,替换变量t=-x^2/2也趋于0.只有x和替换变量在展开点是同一个极限才可以这么做.要是在x=1处展开,就得老老实实算（你可以令t = x-1,或者t=(x-1)^2之类的,保证同一个极限,然后用例题的代换法展开,但是这么做无疑是自找麻烦）.

公式中的x和换元的x不是同一个。。。

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