作业帮P是平面ABCD外一点,四边形ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,BC=4,E是PD的中点求二面角E-AC-D所成角的余弦值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 10:56:21
P是平面ABCD外一点,四边形ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,BC=4,E是PD的中点求二面角E-AC-D所成角的余弦值
P是平面ABCD外一点,四边形ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,BC=4,E是PD的中点
求二面角E-AC-D所成角的余弦值
P是平面ABCD外一点,四边形ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,BC=4,E是PD的中点求二面角E-AC-D所成角的余弦值
以A为原点建立空间坐标系c（2,4,0） E（0,2,1）A(0,0,0)
平面ACD法向量为m（1,0,0）
设平面ace法向量为n（x,y,z）
则向量AC*N=0 AE*n=0
2x+4y=0 2y+z=0
x= -2y z=-2y 所以令y=1 向量n=（-2,1,-2）
cosa=向量 m*n/（模m*模n）=-2/(1*3)=-2/3
在平面PAD上作EF⊥AD，
E为PD中点，EF//PA，
PA⊥平面ABCD，
EF⊥平面ABCD，
在平面ABCD上作GF⊥AC，垂足G，连结EG，
根据三垂线定理，EG⊥AC，
《EGF是二面角E-AC-D的平面角，
RT△AGF∽RT△ADC，
AF=AD/2=2，
AC=2√5，
GF/CD=AF/AC，
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在平面PAD上作EF⊥AD，
E为PD中点，EF//PA，
PA⊥平面ABCD，
EF⊥平面ABCD，
在平面ABCD上作GF⊥AC，垂足G，连结EG，
根据三垂线定理，EG⊥AC，
《EGF是二面角E-AC-D的平面角，
RT△AGF∽RT△ADC，
AF=AD/2=2，
AC=2√5，
GF/CD=AF/AC，
GF=2/√5，
EF=PA/2=1，
EG=3/√5，
设θ是E-AC-D二面角的平面角，
cosθ=GF/EG=2/√5/（3/√5）=2/3，
二面角E-AC-D所成角的余弦值为2/3.
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