高中复合函数

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不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数,只有当 =φ(x)的值域存在非空子集Zφ是y=f( )的定义域Df的子集时,二者才可以构成一个复合函数.编辑本

有意思

除一次函数（y=kx+b），二次函数(y=ax^2+bx+c)，反比函数(y=k/x(x≠0))，幂函数(y=x^n)，指数函数(y=a^x(a>0,a≠1))，对数函数(y=loga(x),(a>0,a≠1))，三角函数(y=sinx,y=cosx,y=tanx)以外都为复合函数
复合函数
目录
定义
生成条件
定义域
周期性
增减性

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除一次函数（y=kx+b），二次函数(y=ax^2+bx+c)，反比函数(y=k/x(x≠0))，幂函数(y=x^n)，指数函数(y=a^x(a>0,a≠1))，对数函数(y=loga(x),(a>0,a≠1))，三角函数(y=sinx,y=cosx,y=tanx)以外都为复合函数
复合函数
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定义
生成条件
定义域
周期性
增减性
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定义
　　设y=f(u),u=g(x),当x在u=g(x)的定义域Dg中变化时，u=g(x)的值在y=f(u)的定义域Df内变化，因此变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，记为
　　y=f(u)=f[g(x)]称为复合函数，其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量(即函数)
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生成条件
　　不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数，只有当μ=φ(x)的值域存在非空子集Zφ是y=f(μ)的定义域Df的子集时，二者才可以构成一个复合函数。
编辑本段
定义域
　　若函数y=f(u)的定义域是B﹐u=g(x)的定义域是A﹐则复合函数y=f[g(x)]的定义域是
　　 复合函数的导数D={x|x∈A,且g(x)∈B}
编辑本段
周期性
　　设y=f(u),的最小正周期为T1，μ=φ(x）的最小正周期为T2，则y=f(μ)的最小正周期为T1*T2，任一周期可表示为k*T1*T2（k属于R+）
编辑本段
增减性
　　 复合函数单调性依y=f(u),μ=φ(x)的增减性决定。即“增增得增，减减得增，增减得减”，可以简化为“同增异减”
　　判断复合函数的单调性的步骤如下：(1)求复合函数定义域；
　　(2)将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数)；
　　(3)判断每个常见函数的单调性；
　　(4)将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围；
　　(5)求出复合函数的单调性。
　　例如：讨论函数y=0.8^(x^2-4x+3)的单调性。 复合函数的导数函数定义域为R。
　　令u=x^2-4x+3，y=0.8^u。
　　指数函数y=0.8^u在(-∞，+∞)上是减函数，
　　u=x^2-4x+3在(-∞，2]上是减函数，在[2，+∞)上是增函数，
　　∴ 函数y=0.8^(x2-4x+3)在(-∞，2]上是增函数，在[2，+∞)上是减函数。
　　利用复合函数求参数取值范围
　　求参数的取值范围是一类重要问题，解题关键是建立关于这个参数的不等式组，必须
　　将已知的所有条件加以转化。
复合函数单调性

例 求下列函数的单调区间.
1.一次函数y=kx+b(k≠0).
解 当k＞0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间；当k＜0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间.
2.反比例函数y= (k≠0).
解 当k＞0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调减区间，当k＜0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调增区间.
3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0).
解 当a＞1时(－∞，－ )是这个函数的单调减区间，(－ ，+∞)是它的单调增区间；当a＜1时(－∞，－ )是这个函数的单调增区间，(－ ，+∞)是它的单调减区间；
4.指数函数y=ax(a＞0，a≠1).
解 当a＞1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a＜1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间.
5.对数函数y=logax(a＞0，a≠1).
解 当a＞1时，(0，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a＜1时，(0，+∞)是它的单


引理1 已知函数y=f［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.
(本引理中的开区间也可以是闭区间或半开半闭区间.)
证明 在区间(a,b)内任取两个数x1,x2，使a＜x1＜x2＜b.
因为u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，所以g(x1)＜g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2)即u1＜u2,且u1,u2∈(c,d).
因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，所以f(u1)＜f(u2),即f［g(x1)］＜f［f(x2)］，
故函数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.
引理2 已知函数y=f［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，复合函数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.
证明 在区间(a,b)内任取两个数x1,x2，使a＜x1＜x2＜b.
因为函数u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，所以g(x1)＞g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2)即u1＞u2,且u1,u2∈(c,d).
因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u1)＜f(u2),即f［g(x1)］＜f［f(x2)］，故函数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.
当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不同时，其复合函数为减函数

由于中学的教学要求，我们这里只研究y=f(u)为u的单调函数这一类的复合函数.

例1 求下列函数的单调区间：
y=log4(x2－4x+3)
这是由 y=log4u与u=x2－4x+3构成的一个复合函数，其中对数函数 y=log4u在定义域(0，+∞)上是增函数，而二次函数u=x2－4x+3，当x∈(－∞，2)时，它是减函数，当x∈(2，+∞)时，它是增函数，.因此，根据今天所学的引理知，(－∞，2)为复合函数的单调减区间；(2，+∞)为复合函数的单调增区间.
解 设 y=log4u,u=x2－4x+3.由
u＞0,
u=x2－4x+3，
解得原复合函数的定义域为x＜1或x＞3.
当x∈(－∞，1)时，u=x2－4x+3为减函数，而y=log4u为增函数，所以(－∞，1)是复合函数的单调减区间；当x∈(3，±∞)时，u=x2－4x+3为增函数y=log4u为增函数，所以，(3，+∞)是复合函数的单调增区间.

除了这种办法，我们还可以利用代数方法求解单调区间.下面先求复合函数单调减区间.
u=x2－4x+3=(x－2)2－1,
x＞3或x＜1，(复合函数定义域)
x＜2 (u减)
解得x＜1.所以x∈(－∞，1)时，函数u单调递减.
由于y=log4u在定义域内是增函数，所以由引理知：u=(x－2)2－1的单调性与复合函数的单调性一致，所以(－∞，1)是复合函数的单调减区间.下面我们求一下复合函数的单调增区间.
u=x2－4x+3=(x－2)2－1,
x＞3或x＜1，(复合函数定义域)
x＞2 (u增)
解得x＞3.所以(3，+∞)是复合函数的单调增区间.
例2 求下列复合函数的单调区间：
y=log (2x－x2)
师：先在笔记本上准备一下，几分钟后咱们再一起看黑板，我再边讲边写.(板书)
解 设 y=log u,u=2x－x2.由
u＞0
u=2x－x2
解得原复合函数的定义域为0＜x＜2.
由于y=log u在定义域(0，+∞)内是减函数，所以，原复合函数的单调性与二次函数u=2x－x2的单调性正好相反.
易知u=2x－x2=－(x－1)2+1在x≤1时单调增.由
0＜x＜2 （复合函数定义域）
x≤1，(u增)
解得0＜x≤1,所以(0，1］是原复合函数的单调减区间.
又u=－(x－1)2+1在x≥1时单调减，由
x＜2， (复合函数定义域)
x≥1， (u减)
解得0≤x＜2,所以[0，1＝是原复合函数的单调增区间.
师：以上解法中，让定义域与单调区间取公共部分，从而保证了单调区间落在定义域内.

例3 求y= 的单调区间.
解 设y= ,u=7－6x－x2,由
u≥0,
u=7－6x－x2
解得原复合函数的定义域为－7≤x≤1.
因为y= 在定义域［0+∞］内是增函数，所以由引理知，原复合函数的单调性与二次函数u=－x2－6x+7的单调性相同.
易知u=-x2-6x+7=-(x+3)2+16在x≤-3时单调增加。由
-7≤x≤1,（复合函数定义域）
x≤-3,（u增）
解得-7≤x≤-3.所以[-7，3]是复合函数的单调增区间.
易知u=－x2－6x+7=－(x+3)2+16在x≥－3时单调减，由
－7≤x≤1 (复合函数定义域)
x≥－3， (u减)
解得－3≤x≤1，所以［－3，1］是复合函数的单调减区间.

例4 求y= 的单调区间.
(学生板书)
解 设y= .由
u∈R,
u=x2－2x－1,
解得原复合函数的定义域为x∈R.
因为y= 在定义域R内为减函数，所以由引理知，二次函数u=x2－2x－1的单调性与复合函数的单调性相反.
易知,u=x2－2x－1=(x－1)2－2在x≤1时单调减，由
x∈R, (复合函数定义域)
x≤1， (u减)
解得x≤1.所以(－∞，1］是复合函数的单调增区间.同理［1，+∞)是复合函数的单调减区间.
单调区间必须是定义域的子集，当我们求单调区间时，必须先求出原复合函数的定义域.另外，咱们刚刚学习复合函数的单调性，做这类题目时，一定要按要求做，不要跳步.

收起

设y=f(u），u=g(x），当x在u=g(x）的定义域Dg中变化时，u=g(x）的值在y=f(u）的定义域Df内变化，因此变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，记为：y=f(u)=f[g(x)]称为复合函数(composite function)，其中x称为自变量,u为中间变量,y为因变量（即函数）。