作业帮为什么1*1+2*2+3*3+……+n*n=1/6n(n+1)(2n+1)要详细的证明过程,谢谢!
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/17 12:35:12
为什么1*1+2*2+3*3+……+n*n=1/6n(n+1)(2n+1)要详细的证明过程,谢谢!
为什么1*1+2*2+3*3+……+n*n=1/6n(n+1)(2n+1)
要详细的证明过程,谢谢!
为什么1*1+2*2+3*3+……+n*n=1/6n(n+1)(2n+1)要详细的证明过程,谢谢!
首先,你肯定知道1+2+.+n=1/2n(n+1),那么
(n+1)*(n+1)*(n+1) - n*n*n = 3n*n + 3n + 1;
n*n*n - (n-1)*(n-1)*(n-1) = 3(n-1)*(n-1)+3(n-1)+1;
.
2*2*2 - 1*1*1 = 3*1*1*1 + 3*1 +1;
然后上面的n个式子左右相加,得到：
(n+1)*(n+1)*(n+1)-1*1*1 = 3(1*1 + .+n*n) + 3(1+...+n) + n;
化简就是
1*1+2*2+3*3+……+n*n=1/6n(n+1)(2n+1)
自然数平方数列
1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
...
全部展开
自然数平方数列
1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
收起
你可以根据等比数列的前N项和的求法中得出这个公式的证明。自己动手做做吧