勾股定理知识点

勾股定理知识点
勾股定理知识点

勾股定理知识点
必修作业模版内容
1．教学设计学科名称
2．所在班级情况,学生特点分析
3．教学内容分析
4．教学目标
5．教学难点分析
6．教学课时
7．教学过程
8．课堂练习
9．作业安排
10． 附录（教学资料及资源）
11． 自我问答
北师大版八年级数学（上册）教师用书
第一章 勾股定理
1.1 探索勾股定理
课前预习·教学有方
◎点击关键词
勾股定理 平方 证明 计算 应用
◎目标导航船
1.通过拼图活动和勾股定理的文化背景了解,让学生发现勾股定理.
2. 能利用材料,通过剪、拼图验证勾股定理.
3. 能运用勾股定理根据直角三角形的两条边求第三条边,并能解决简单的生活、生产实践中的问题.
3.重点：勾股定理的证明及应用.
4.难点：学生数学语言的运用.
◎创意开场白
勾股定理是在前面学习了直角三角形一些性质的基础上学习的,它是几何的重要定理之一,它揭示了直角三角形三边的数量关系,它将形与数密切联系起来,在数学的发展中起着非常重要的作用,在现实世界中也有着广泛的应用.学生通过对勾股定理的学习,对直角三角形有进一步的认识和理解,为今后学习解直角三角形打下基础.
一、欣赏图片引人
2002年国际数学家大会把“赵爽弦图”确定为
本届大会的会徽.

你见过这个图案吗?
你听说过勾股定理吗?
引入新课 §18.1勾股定理
二、了解历史引人
商高是公元前十一世纪的中国人.当时中国的朝代是西周,是奴隶社会时期.在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话.商高说："…故折矩,勾广三,股修四,经隅五."什么是"勾、股"呢?在中国古代,人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为"勾",下半部分称为"股".商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时,径隅（就是弦）则为5.以后人们就简单地把这个事实说成"勾三股四弦五".由于勾股定理的内容最早见于商高的话中,所以人们就把这个定理叫作"商高定理".
三、从一个美丽的故事引人
世界的许多科学家正在试探着寻找“外星人”,人们为了取得与外星人的联系,想了很多方法.早在1820年,德国著名数学家高斯曾提出,可在西伯利亚的森林里伐出一片直角三角形的空地,然后在这片空地里种上麦子,以三角形的三条边为边种上三片正方形的松树林,如果有外星人路过地球附近,看到这个巨大的数学图形,便会知道：这个星球上有智慧生命.
我国数学家华罗庚也曾提出：若要沟通两个不同星球的信息交往,最好利用太空飞船带上这个图形,并发射到太空中去.
四、从一个著名问题引人
《九章算术》有一勾股定理名题:“今有池方一丈,葭(jiā)生其中央．出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐．问水深、葭长各几何．”
本题的意思是：（如图1）有一水池一丈见方,池中生有一棵类似芦苇的植物,露出水面一尺,如把它引向岸边,正好与岸边齐.问水有多深,该植物有多长?
图1

教师通过将实际问题转化成直角三角形的三边关系问题,从而出示课题——勾股定理.
◎温故而知新
【温故】
1、三角形按照角的大小可以分为：锐角三角形、直角三角形、和钝角三角形.
2、三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边.
【知新】
勾股定理：
1．直角三角形 两直角边的平方和 等于 斜边的平方 .
2．几何语言表述：如图1.1-1,在RtΔABC中, C＝ 90°.
则： BC 2+ AC 2= AB 2
若BC=a,AC=b,AB=c,
则上面的定理可以表示为：

图1.1-1
乐学好思1
到目前为止,学过的直角△ABC的主要性质是：（如图1.1-2）∠C=90°,（用几何语言表示）
⑴两锐角之间的关系： ;
⑵若D为斜边中点,则斜边中线等于斜边的一半；
⑶若∠B=30°,则∠B的对边和斜边： ；
⑷三边之间的关系： .
A

B

C

D







图1.1-2
我的疑问：














课堂研习·一点即通
◎知识全突破
●知识点1
探索勾股定理 导航指数■■■■□□
1、 请在坐标纸上画出一个直角三角形,使它
的两条直角边分别是3和4,分别以三边向外做正方形,如图1.1-3,计算

A的
面积
B的
面积
C的
面积

如图
16
9
25

A

B

C


图1.1-3
小组讨论,交流
SA+SB=SC

结论：

2、请你利用坐标纸,自己选取你喜欢的两个数作为直角边,探索上述关系是否依旧成立?(如图1.1-4)
A

B

C











图1.1-4
结论：SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积．
问题：
1、猜想是否所有的直角三角形的三边都具有
此性质?用直角边是a、b,斜边是c的四个全等直角三角形（图1.1-5）拼成（图1.1-6）.



观察图形并思考、填空：
大正方形的面积可表示为：（a+b）2
这个大正方形的面积还可以怎么表示?
；
于是可列等式为
；
将等式化简、整理,得
.
小结：勾股定理
图1.1-7

直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方.如图1.1-7,
即：若△ABC中,
∠ACB＝90° ,则
.
变形：若∠ACB＝90°,
则a2= c2 －b2
b2 = c2 － a2
教师在此基础上介绍“勾,股,弦”的含义,进行点题,结合直角三角形,让学生从中体验勾股定理蕴含的深刻的数形结合思想.
●知识点2
定理证明：你会证明勾股定理吗?
导航指数■■■■■
勾股定理的证明方法有数百种之多,现列举两种典型证法.请根据老师分组选取一种证法加以研究,并将结果与其他小组进行交流!
（一）拼图法——藏与拼图游戏中的巧妙的证明方法,如图1.1-8.
1.操作：请将下面8个全等的直角三角形和3个正方形拼入下面的两个边长为a+b的大正方形中.
2.请根据拼图结果证明勾股定理.


图1.1-8








证明：由左图可知：
；
由右图可知： ；
所以 .
（二）面积相等法
一名同学拿着两个大小形状完全相同的两个直角三角形走过来,拼成如右图1.1-9所示,并解释说：“这个梯形的面积等于 (a+b)2的一半,也可以是两个直角三角的面积加上一个等腰直角三角形的面积,经过化简整理,即为：a2+b2=c2
●知识点3
勾股定理的应用：在直角三角形中,已知两
边求第三边. 导航指数■■■□□
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系,它的应用非常广泛.
例1有一水池一丈见方,池中生有一棵类似芦苇的植物,露出水面一尺,如把它引向岸边,正好与岸边齐.问水有多深,该植物有多长?
分析：根据题意画出图形(如图1.1-10)
,寻找直角三角形利用勾股定理求解.
图1.1-10

过程详解　：
由题意得： 在Rt△ ABC中,∠ACB=90゜,BC=5,　CD=1,设植物长AB＝x,则水深AC＝x－1,
根据勾股定理得
AB2＝AC2＋BC2,所以x2＝（x－1）2＋52,所以x＝13,x－1＝12.
答：水深12尺,植物长13尺.
◎知识巧归纳

◎随堂小挑战
一.选择题
1. 贾敏同学的家与学校的距离仅有500m,但需要拐一个直角弯才能到达,已知拐弯处到学校有 400m,则家门口到拐弯处有﹙﹚
A．300m B．350m C．400m D．450m
分析:题意中,贾敏的家、学校和拐弯处这三点围成一个直角三角形,已知其中的两边,可以求出第三边,即家门口到拐弯处的距离.设家门口到拐弯处的距离是x m,由勾股定理： ,解得x=300.
答案: A．
2. 等腰直角三角形三边的平方比为﹙﹚
A．1：4：1 B．1：2：1
C．1：8：1 D．1：3：1
分析:由勾股定理,两个直角边的平方和等于斜边的平方,所以三边的平方比中应该有两个数相加得第三个数,符合的只有选项B．
答案: B．
3. 长方形的一条对角线的长为10cm,一边长为6cm,它的面积是（ ）.
（A）60cm2 （B）64 cm2
（C）24 cm2 （D）48 cm2
分析:长方形的相邻两条边和对角线围成一个直角三角形,因此可以运用勾股定理,求出另一边,从而求出面积.
答案:D.
二.填空题
4. 若直角三角形两直角边分别为6和8,则斜边为­ ___________；
分析:设斜边为x,由勾股定理： ,解得：x=10.
答案:10.
5. 如图1.1-11,学校有一块长方形花铺,有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米）,却踩伤了花草．
分析:根据勾三股四弦五,所以这条“路”的长度是5m,2步为1米,他们仅仅走了10步.
答案:10.
6. 一个矩形的抽斗长为24cm,宽为7cm,在里面放一根铁条,那么铁条最长可以是 ．
分析: 铁条最长的长度就是抽斗两相对顶点线段的距离,也就是已知矩形的抽斗的长和宽,求对角线的长度.设铁条的最大长度为xcm,由勾股定理： 解得x=25cm.
答案: 25cm.
三.计算题
7. 在Rt△ABC中,∠C=90°,c=20,a：b=3：4,则a=? b=?
分析:可以先根据题意,画出直角三角形.
答案:
设a=3x,b=4x,由勾股定理, ,解得：x=4,所以 a=12,b=16.
8.在一棵树的10米高处有两只猴子,其中一只爬下树走向离树20米的池塘,而另一只猴子只爬到树顶后直扑池塘,如果两只猴子经过的路程相等,问这棵树有多高?
分析：根据题意画出图形（如图1.1-12所示）,再在直角三角形中运用勾股定理构建方程求解.


图1.1-12

如图1.1-12所示,设D为树顶,C为池塘,AB=10米,AC=20米,设AD的长是x米,则树高AD为（x+10）米,因为AC+AD=BD+DC,所以DC=20+10-x,在 中, ,所以 .
解得x=5.所以x+10=15,即这棵树高有15米.
四.解答题
9.如图1.1-13,有一只小鸟在一棵高4m的小树梢
上捉虫子,它的伙伴在离该树12m,高20m的一
棵大树的树梢上发出友好的叫声,它立刻以4m/s
的速度飞向大树树梢,那么这只小鸟至少几秒才
可能到达大树和伙伴在一起?





图1.1-13

图1.1-14
分析:首先根据题意画出几何图形,如图1.1-14,找出其中的直角三角形,利用勾股定理.
过程详
AE=20-4=16,
在 中,


解得 AC=20

答：这只小鸟至少5秒才可能到达大树和伙伴在一起.
答案:5.
10. “中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过 km/h.如图1.1-15,一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶,某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方 m处,过了2s后,测得小汽车与车速检测仪间距离为 m,这辆小汽车超速了吗?
A

小汽车

小汽车

B

C

观测点







图1.1-15
分析:首先把实际问题转化成数学问题.
过程详

图1.1-16
如图1.1-16,在 中,


解得 BC=40
70 2=140
而 140>40
所以这辆小汽车超速了.



课后温习·各显神通
◎牛刀初小试
（时间：30分钟 满分：100分）
班级_______ 姓名_______得分________
一．选择题（每小题3分,共24分）
1. 一直角三角形的三边分别为2、3、x,那么以x为边长的正方形的面积为 （ ）
A、13 B、5 C、13或5 D、无法确定
分析:本题关键是要考虑到有两种情况,根据以直角三角形的三边向外做出的三个正方形的面积之间的关系,第一种情况 ,所以以x为边长的正方形的面积为13；第二种情况 .
答案:C.
2.将一个直角三角形两直角边同时扩大到原来的两倍,则斜边扩大到原来的 （ ）
A、4倍 B、2倍 C、不变 D、无法确定
分析:设原来 ,直角三角形两直角边同时扩大到原来的两倍得 ,因此斜边也扩大到原来的2倍
答案:B
3. 有一个木工师傅测量了等腰三角形的腰、底边和高的长,但他把这三个数据与其他数据弄混了,请你帮他找出来﹙ ﹚
A．13,12,12 B．12,12,8
C．13,10,12 D．5,8,4
分析: 等腰三角形的腰、底边的一半和高的长应该满足勾股定理,所以三个数中其中两个的平方和应该等于第三个数的一半的平方,符合的只有C.
答案: C.
4. △ABC中,∠C=90°,a+c=32,a：c=3：5,则△ABC的周长为﹙﹚
A．30 B．40 C．48 D．50
分析:由a+c=32,a：c=3：5得a=12,c=20,又∠C=90°,所以c是斜边,由勾股定理得另一条直角边是16,因此△ABC的周长=12+20+16=48.
答案: C．
5. 正方形的对角线长是18,则这个正方形的面积是 （ ）
A．9 B．18 C．162 D．81
分析:对角线的平方等于直角边平方(即这个正方形的面积)的二倍,所以这个正方形的面积是 .
答案: C．
6. 在△ABC中,AB=13,AC=15,高AD=12,则BC的长是 （ ）
A．14 B．9 C．9或5 D．4或14
分析:本题会出现两种情况,如图1.1-17所示

图1.1-17
答案: D．
7. 斜边为 ,一条直角边长为 的直角三角形的面积是（ ）
(A) 60 (B) 30 (C) 90 (D) 120

图1.1-18

分析:如图1.1-18所示,画出直角三角形,先求出另一条边的长,然后再求这个三角形的面积.由勾股定理得 解得BC=8cm.因此 答案A.
8. 下列说法正确的是( )
A. 若a、b、c是 的三边,则
B. 若a、b、c是 的三边,则
C. 若a、b、c是 的三边 ,则
D. 若a、b、c是 的三边 ,则
分析:本题关键是要判断a、b、c三边中,哪条边是斜边,哪两条边是直角边.
答案:D.
二．填空题（每小题4分,共24分）
9. 等腰△ABC的腰长AB＝10cm,底BC为16cm,则底边上的高为 ,面积为 .

图 1.1-19

分析:根据题意画出图形,如图1.1-19所示,等腰三角形的高将它分成两个全等的直角三角形,选择其中的任意一个运用勾股定理先求出高,再计算面积.
答案:6cm;
10. 一天,李京浩同学的爸爸买了一张底面是边长为250cm的正方形,厚30cm的床垫回家．到了家门口,才发现门口只有240cm高,宽100cm．你认为李京浩同学的爸爸能拿进屋吗? ．
分析:计算比较床垫的边长与门的对角线的大小,来判断是否能拿进屋.这里与床垫的厚度没有什么关系. 解得x=260.而 ,所以李京浩同学的爸爸能把床垫拿进屋.
答案:能拿进屋.
11. 直角三角形中,以直角边为边长的两个正方形的面积为 , ,则以斜边为边长的正方形的面积为_________.
分析: 直角三角形中,以直角边为边长的两个正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积.
答案:15.
12. .如图1.1-20,直线l上有三个 正方形a,b,c,若a,c 的面积分别是5,11,则b的面积为（ ）
A.4 B.6 C.16 D.55

图1.1-20
分析:正方形a和c的面积之和等于正方形b的面积.
答案:C.
13. 在△ABC中,∠C=90°,若AB=5,则AB2+AC2+BC2=
分析:因为在△ABC中, ∠C=90°,所以AB是斜边,因此AB2+AC2+BC2= =50.
答案:50.
2、若等腰三角形的腰长为10,底边长为12,则底边上的高为（ ）
A、6 B、7 C、8 D、9
分析：等腰三角形底边上的高线、中线和顶角的平分线重合,并且将它分成两个全等的直角三角形,因此可以应用勾股求解.
答案：C、
三．计算题（每小题8分,共32分）

图 1.1-21

14. 如图1.1-21,在Rt 中, .
已知c=25,b=15,求a;
分析:在直角三角形中,已知斜边和一条直角边,求另一条直角边的问题.
答案:
解:在Rt 中, c=25,b=15
由勾股定理

解得 a=20.
15. 如图1.1-22,小李准备建一个蔬菜大棚,棚宽4米,高3米,长20米,棚的斜面用塑料布遮盖,不计墙的厚度,请计算阳光透过的最大面积.

图1.1-22
分析:这是一个非常实际的问题,很好的考察了勾股定理的应用.
答案:
设大棚的斜面的宽为x米,
由勾股定理得
解得 x=5
所以阳光透过的最大面积为 .
16. 如图1.1-23,铁路上A,B两点相距25km,C,D为两村庄,DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,已知DA=15km,CB=10km,现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E,使得C,D两村到E站的距离相等,则E站应建在离A站多少km处?
A

D

E

B

C

图1.1-23







分析:先把实际问题转化为数学问题,问题中有两个直角三角形,根据它们的斜边是相等的,利用方程的思想解决问题.这是一道比较难的题目.
过程详解:
设AE=x,在 中,
在 中, ,又DE=CE,所以 ,解得x=10.
答：E站应建在离A站10km处.
答案: 10km .
四．解答题（每小题10分,共20分）
17. 将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上,旗杆从旗顶到地面的高度为320cm, 在无风的天气里,彩旗自然下垂,如图1.1-24. 求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h.彩旗完全展平时的尺寸如左图的长方形（单位：cm）.


120

90










图1.1-24
分析:
在无风的条件下,彩旗是自然下垂的,那么最顶端到底端的距离就是这个长方形的对角线的长度,所以h就是旗杆的高度减去彩旗对角线的长度.
答案:
设彩旗的对角线的长度为xcm,由勾股定理得

解得 x=150
320-150=170(cm).
答: 彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h为170cm.
18. 如图1.1-25,为迎接2010世博会,会展中心在会展期间准备将高5m,长13m,宽2m的楼道上铺地毯,已知地毯每平方米18元,请你帮助计算一下,铺完这个楼道至少需要多少元钱?


5m

13m





图1.1-25
分析:关键是根据题意,先求出地毯的长,再计算面积,从而计算铺完这个楼道至少需要多少元钱.
答案:
由勾股定理的

解得 x=12.

答：铺完这个楼道至少需要612元.
我的反思：










单元复习·融会贯通
◎ 网络我构建

◎专题我探究
勾股定理及其逆定理在中考和数学竞赛中有十分广泛的应用,下面举例说明．
●专题1 用于求角的度数
例1 如图1-1,在四边形 中, ,且 ,求： 的度数．



分析：将四边形分成两个三角形,利用勾股定理的逆定理求解.
答案：

设 ,则 ,连接 ,
为等腰三角形, ．
在 中,由勾股定理,得 ,
又 ,
∴ ．
由勾股定理的逆定理知
是直角三角形．
．
●专题2 用于判定三角形的形状
例2 若三角形的三条边 满足关系式 ,则此三角形形状是　　　　．
分析：对题意中的等式进行适当的变形.
答案：
∵ ,
∴ ,即 ．
∴ 或 ．
∴ 或 ．
∴此三角形的形状是等腰三角形或直角三角形．
●专题3 用于证明两线段垂直
例3 如图1-2,正方形 中, ,求证： ．
分析：利用勾股定理的逆定理证明 是直角三角形.
答案：
证明：连接 ,设 ,则 ,
∵ ,
,
, ．
为为直角三角形（勾股定理的逆定理）．
．
●专题4 求面积
例4如图1.3,已知四边形ABCD中,∠B＝ ,AB＝3,BC＝4,CD＝12,AD＝13求四边形ABCD的面积
　连结AC
∵∠B＝ ,
AB＝3,BC＝4
　　∴
　　∴AC＝5
　　∵
　　∴
　　∴∠ACD＝
　　
● 触类 旁通2.
◎ 数学万花筒:
夏禹治水与勾股定理
大约40000多年前,我国曾经有一次特大的洪水,那时候,大地上一片汪洋,田地浸没在洪涛之中,人们没有居住的地方,只得扶老携幼,东漂西流.
面对特大的天灾,有个叫 的人来治理洪水,结果越堵洪水越大.
后来,鲧的儿子禹来治理洪水,他吸取了父亲的经验教训,认识到洪水从高处往低处流的特点,知道单独靠堵塞的办法是行不通的,还必须做疏通河道的工作,于是他带领人们去疏江导河,禹治理水的方法很见效,洪水越来越少,最后都流入了大海,在禹的率领下,经过了十年的艰苦历程,这场特大的自然灾害终于被治服了,禹原是夏后氏部落的领袖,所以人们亦叫他夏禹.
据说,禹治理洪水巡视到会稽（即现在的浙江绍兴）时,就死在那里,会稽山下的禹穴就是他的墓地,后来人们就在这里建立了禹陵碑、禹庙和禹陵窆石亭来纪念他.在民间流传的许多传说中,还有禹治水“三过家门而不入”的故事,由此可见,禹治洪水时的精神是多么高尚呀!
禹治理洪水还与勾股定理有关系哩!因为他认识到洪水从高处往低处流的特点,在疏通河道的过程中,就必须控制和确定两处的高低差,而确定高低差的最简单方法就是用勾股定理.禹是怎样运用勾股定理来确定两处的高低差的呢?历史上没有留下详细的记载,只是在我国古代的数学著作《周髀算经》和一些历史资料中,很简单的提到,勾股术（即勾股的计算方法）是由禹治理洪水时产生的,根据这一特点,我们可以说,禹是世界上有史记载的第一个与勾股定理有关的人.