作业帮F为抛物线y＝4x的焦点,点M（4,0）过F作斜率为k1的直线与抛物线交于A,B俩点,延长AM,BM交抛物线于CD,CD斜率为k2,求k1比k2
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 05:30:44
F为抛物线y＝4x的焦点,点M（4,0）过F作斜率为k1的直线与抛物线交于A,B俩点,延长AM,BM交抛物线于CD,CD斜率为k2,求k1比k2
F为抛物线y＝4x的焦点,点M（4,0）过F作斜率为k1的直线与抛物线交于A,B俩点,延长AM,BM交抛物线于CD,CD斜
率为k2,求k1比k2
F为抛物线y＝4x的焦点,点M（4,0）过F作斜率为k1的直线与抛物线交于A,B俩点,延长AM,BM交抛物线于CD,CD斜率为k2,求k1比k2
抛物线方程：y^2=4x,根据y^2=2px,p=2,p/2=1,交点坐标F（1,0）
过F作斜率为k1的直线：(y-0)/(x-1)=k1,即y=k1(x-1)
A、B两点的横坐标和纵坐标值即是方程组y=k1(x-1)与y^2=4x的两组解
将y=k1(x-1)代入y^2=4x,得：{k1(x-1)}^2=4x,化简得：
k1^2 x^2-2(k1^2+2)x+k1^2=0
根据韦达定理：
xA+xB=2(k1^2+2)/k1^2
xA×xB=k1^2 / k1^2 =1
根据y=k1(x-1)
yA+yB=k1(xA-1+xB-1)=k1{(xA+xB)-2}=K1{2(k1^2+2)/k1^2-2}=k1 /4
yA×yB=k1(xA-1)×k1(xB-1)=k1^2{xA×xB-(xA+xB)+1}=k1^2{1-2(k1^2+2)/k1^2+1}=-4
过A、M两点的方程：(y-yA)/(x-xA)=(y-0)/(x-4),将xA=yA^2/4,和x=y^2/4分别代入,求得C点坐标：
{y-yA}/{(y^2/4-yA^2/4}=y/{y^2/4-4}
1/{y+yA}=y/{y^2-16}
y=-16/yA
即：yC=-16/yA,xC=yC^2/4=64/yA^2
同理：yD=-16/yB,xC=64/yB^2
CD的斜率k2=(yD-yC)/(xD-xC)
= (-16/yB+16/yA) / (64/yB^2-64/yA^2)
=-yAyB/{4(yA+yB)
= -(-4)/{4*(k1 /4)
=4/k1
∴k1 k2 = k1 4/k1 = 4