已知两个正三棱锥有公共底面,两棱锥的所有顶点都在同一个球面上,若这两个正三棱锥的侧棱之比√3 :1则这两个三棱锥的公共底面的面积与该球的表面之比为多少?

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/14 10:52:08

已知两个正三棱锥有公共底面,两棱锥的所有顶点都在同一个球面上,若这两个正三棱锥的侧棱之比√3 :1则这两个三棱锥的公共底面的面积与该球的表面之比为多少?
已知两个正三棱锥有公共底面,两棱锥的所有顶点都在同一个球面上,若这两个正三棱锥的侧棱之比√3 :1
则这两个三棱锥的公共底面的面积与该球的表面之比为多少?

已知两个正三棱锥有公共底面,两棱锥的所有顶点都在同一个球面上,若这两个正三棱锥的侧棱之比√3 :1则这两个三棱锥的公共底面的面积与该球的表面之比为多少?
设两个正三棱锥分别为A-BCD;A'-BCD
BCD的中心为O', 外接球半径为R,球心为O
则AA'直径,∴ AB⊥A'B
∵两个正三棱锥的侧棱之比√3 : 1
不妨设AB：A'B=√3:1 ,令比的每一份为t
∴由勾股定理得 AA'=2R=2t
∴BO'⊥AA,BO'=AB×A'B/AA'=√3t×t/(2t)=√3t/2
∴BD=BO'/(√3/3)=√3BO'=3t/2
∴SΔBCD=√3/4×BD²=9√3/16t²
∵球的表面积=4πR²=4πt²
∴SΔBCD/S球面=（9√3/16t²)/(4πt²)=9√3/(64π)
这两个三棱锥的公共底面的面积与该球的表
面之比为9√3/(64π)

如图所示，设球的半径＝R，BF=m

则，BD＝√3m，BD²＝DE×DF，BF²＝FE×FD

即，3m²＝2R×(R+OE)，m²＝2R×(R－OE)，

所以，OE＝R/2

Rt△BEO中，

BE＝(√3/2)×R，AB＝2BE×sin60°＝3R/2

S△ABC=1/2×AB²×sin60°＝(9√3/16)×R²

球的表面积＝4πR²

所以，S△ABC：S球＝9√3：64π 

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