作业帮已知函数f(x)=x^2+a/x(x≠0,常数a∈R).(1)判断函数f(x)的奇偶性,并说明理由（2）若函数f(x)在x∈[2,+∞）上为增函数,求a的范围
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/07 19:22:09
已知函数f(x)=x^2+a/x(x≠0,常数a∈R).(1)判断函数f(x)的奇偶性,并说明理由（2）若函数f(x)在x∈[2,+∞）上为增函数,求a的范围
已知函数f(x)=x^2+a/x(x≠0,常数a∈R).
(1)判断函数f(x)的奇偶性,并说明理由（2）若函数f(x)在x∈[2,+∞）上为增函数,求a的范围
已知函数f(x)=x^2+a/x(x≠0,常数a∈R).(1)判断函数f(x)的奇偶性,并说明理由（2）若函数f(x)在x∈[2,+∞）上为增函数,求a的范围
这是双钩函数,有个基本公式
即f(x)=x²+a/x
1、函数是奇函数
证明：
首先函数定义域为（-∞,0）∪（0,+∞）,关于原点对称
f(-x)=-x-a/x=-(x²+a/x)=-f(x)
所以函数是奇函数
2、
若a＞0,
则函数f(x)在（-∞,-√a]和(√a,+∞）两个区间上分别单调递增,在[-√a,0)和[√a,0）两个区间上分别单调递减；
若a＜0
则函数f(x)在（-∞,-√-a]和[√-a,+∞）两个区间上分别单调递增,在(-√-a,0)和(0,√-a）两个区间上分别单调递减
根据上述结论,√|a|=2,a=±4
（1）当a=0时，f（x）=x2
对任意x∈（-∞，0）∪（0，+∞），有f（-x）=（-x）2=x2=f（x），
∴f（x）为偶函数．
当a≠0时，f（x）=x2+
a
x
（x≠0，常数a∈R），
取x=±1，得f（-1）+f（1）=2≠0，
f（-1）-f（1）=-2a≠0，
∴f（-1）≠-f（1），f（-...
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（1）当a=0时，f（x）=x2
对任意x∈（-∞，0）∪（0，+∞），有f（-x）=（-x）2=x2=f（x），
∴f（x）为偶函数．
当a≠0时，f（x）=x2+
a
x
（x≠0，常数a∈R），
取x=±1，得f（-1）+f（1）=2≠0，
f（-1）-f（1）=-2a≠0，
∴f（-1）≠-f（1），f（-1）≠f（1）．
∴函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数．
（2）设2≤x1＜x2，
f（x1）-f（x2）=x21+
a
x1
-x22-
a
x2
=
(x1-x2)
x1x2
[x1x2（x1+x2）-a]，
要使函数f（x）在x∈[2，+∞）上为增函数，
必须f（x1）-f（x2）＜0恒成立．
∵x1-x2＜0，x1x2＞4，
即a＜x1x2（x1+x2）恒成立．
又∵x1+x2＞4，∴x1x2（x1+x2）＞16，
∴a的取值范围是（-∞，16]．
收起
那个双钩函数的结论是错误的（最好麻烦证明一下）：
(√a，+∞）两个区间上分别单调递增~~[√a，0）两个区间上分别单调递减；