作业帮帮忙解道高数导数的题设函数f(x),g(x)满足f'(x)=g(x),g'(x)=2e^x - f(x),且f(0)=0,g(0)=2,求f(x).f''(x)+f(x)=2e^x{ 解方程组得f(x)=sinx-cosx+e^x f(0)=0,f'(0)=2请问这个方程组的解是如何解得的?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/17 00:48:09
帮忙解道高数导数的题设函数f(x),g(x)满足f'(x)=g(x),g'(x)=2e^x - f(x),且f(0)=0,g(0)=2,求f(x).f''(x)+f(x)=2e^x{ 解方程组得f(x)=sinx-cosx+e^x f(0)=0,f'(0)=2请问这个方程组的解是如何解得的?
帮忙解道高数导数的题
设函数f(x),g(x)满足f'(x)=g(x),g'(x)=2e^x - f(x),且f(0)=0,g(0)=2,求f(x).
f''(x)+f(x)=2e^x
{ 解方程组得f(x)=sinx-cosx+e^x
f(0)=0,f'(0)=2
请问这个方程组的解是如何解得的?
帮忙解道高数导数的题设函数f(x),g(x)满足f'(x)=g(x),g'(x)=2e^x - f(x),且f(0)=0,g(0)=2,求f(x).f''(x)+f(x)=2e^x{ 解方程组得f(x)=sinx-cosx+e^x f(0)=0,f'(0)=2请问这个方程组的解是如何解得的?
f'(x)=g(x) -->
g'(x)=f''(x) ,g(0)=f'(0)=2 -->
f''(x)=2e^x - f(x) -->
f''(x)+f(x)=2e^x 【此为二阶线性微分方程,】
① 求齐次方程 f''(x)+f(x)=0 通解；
1.对应特征方程：λ^2+1=0 ,
λ1= i ,λ2= -i；
2.齐次方程 f''(x)+f(x)=0 通解为：
y= C1sinx+C2cosx 其中：C1,C2为任意常数；
② 求 f''(x)+f(x)=2e^x 的一个特
设方程特解为：
y*=ce^x 其中：c为待定常数；
代人方程,得：ce^x + ce^x = 2e^x ,解得 c=1 ,得 特解 y* = e^x
③ 线性方程 f''(x)+f(x)=2e^x 通解为：
y= C1sinx+C2cosx + e^x
④ 线性方程 f''(x)+f(x)=2e^x 特解
y= C1*sinx+C2*cosx + e^x ,代人 f(0)=0,f'(0)=2 ,解得：
C1=1 ,C2=-1
∴ 线性方程 f''(x)+f(x)=2e^x 特解为：
f(x)=sinx-cosx+e^x
这个好像不能确定，比如f(x)=-cosx+e^x 也可以。
设f(x)=h(x)+e^x,则只要求h''(x)=-h(x),且h(0)=-1就可以了。