无穷数列An满足an乘an+1等于二分之一的n次方,a1等于1.问求其通项.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/17 01:58:58

无穷数列An满足an乘an+1等于二分之一的n次方,a1等于1.问求其通项.
无穷数列An满足an乘an+1等于二分之一的n次方,a1等于1.问求其通项.

无穷数列An满足an乘an+1等于二分之一的n次方,a1等于1.问求其通项.
答:
ana(n+1)=(1/2)^n,
a(n-1)an=(1/2)^(n-1),
两式相除得 a(n+1)/a(n-1)=1/2,
所以
当n=2k-1时,{a2k-1}为首项为1,等比为1/2的数列,所以a2k-1=(1/2)^(k-1),
当n=2k时,同理有a2k=(1/2)^(k).

an*an+1=(1/2)^n
an*an-1=(1/2)^n-1
两式相除得
an+1/an-1=1/2
可见是隔项等比数列
a1*a2=1/2,a2=1/2
故an=(1/2)^[(n-1)/2](n为奇数)
  =(1/2)^(n/2)(n为偶数)

An=二分之一的2分之n次幂。其中幂2分之n要用估算中去尾法。即当N=1时2分之n=0,N=2时2分之n=1,N=3时2分之n=1,N=5时2分之n=2