泛函分析里有界与完全有界之间有什么关联?

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/11/16 15:01:39

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集合X有界的定义是存在r＞0,使任意x,y∈X有,d(x,y)≤r.完全有界要对任意r,存在有限个以r为半径的开球覆盖X.完全有界集一定有界,因为对任意x,y∈X,存在开球A,B,使x∈A,y∈B,由于开球数有限,假设为N,开球A,B中心为x‘,y’,则d(x,y)≤|x-x‘|+|y-y'|+Nr,故X有界.反之不成立,以有无穷点的离散度量空间为例：

显然取任意大于1的r都能使d(x,y)≤r,但是对r＜1,无法用有限个半径为r的开球覆盖X.

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