任意三角形ABC,已知AC=2AB,证明角B大于2角C

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/05 19:03:01

任意三角形ABC,已知AC=2AB,证明角B大于2角C
任意三角形ABC,已知AC=2AB,证明角B大于2角C

任意三角形ABC,已知AC=2AB,证明角B大于2角C
第一种方法
作AC的垂直平分线,分别交BC、AC于点D、E；
则有：AE = (1/2)AC = AB ,AD = CD ,
所以,∠DAC = ∠C ,∠ADB = ∠DAC+∠C = 2∠C .
因为,AD > AE ,（直角三角形的斜边大于直角边）
即有：AD > AB ,
所以,∠B > ∠ADB ,
即有：∠B > 2∠C .
第二种方法
由正弦定理可得：AC / sin∠B = AB / sin∠C ,
且已知,AC = 2AB ,可得：sin∠B = 2sin∠C .
因为,sin∠C = (1/2)sin∠B ≤ 1/2 ,
所以,∠C ≤ 30°,可得：2∠C ≤ 60°,
即有：2∠C 是锐角.
① 若 ∠B 是钝角,则有：2∠C < ∠B ；
② 若 ∠B 是锐角,
sin(2∠C) / sin∠B = 2·sin∠C·cos∠C / sin∠B = cos∠C < 1 ,
则有：2∠C < ∠B ；
综上可得：∠B > 2∠C

证明：设AC=b,AB=c.所以b=2c
根据正弦定理得 sinB=2sinC
两边同乘cosC,得sinBcosC=sin2C
所以sinB=sin2C/cosC
又因为cosC大于0小于1。所以sin2C/cosC大于sin2C
所以sinB=sin2C/cosC大于sin2C
所以B大于2C

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