作业帮求证3/2
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/08 20:33:05
求证3/2
求证3/2
求证3/2
(1+1/2n)^n=1+C(n,1)*1/2n+C(n,2)*(1/2n)^2+C(n,3)(1/2n)^3+……+(1/2n)n
因为C(n,k)(1/2n)^k=(1/2)^k*C(n,k)/n^k=(1/2)^k*n!/[k!(n-k)!*n^k]
=(1/2)^k*[n(n-1)(n-2)…(n-k+1)/k!n^k]
=(1/2)^k*[1*(1-1/n)(1-2/n)…（1-(k-1)/n)]/k!
＜(1/2)^k*[1*1*1…*1/k!]=(1/2)^k
因此(1+1/2n)^n＜1+1/2+(1/2)^2+……+(1/2)^n=2-2*(1/2)^(n+1)＜2
而(1+1/2n)^n≥1+C(n,1)*1/2n=3/2
等号当且仅当C(n,1)以后项不存在,即n≤1,即n=1时成立
因此原不等式成立3/2≤(1+1/2n)^n＜2
既是证明
1.。3/2<=(1+1/2n)^n
将右式用二项式定理放开，对于第一项为1，第二项为1/2n*n是1/2，所以前两项已经不小于3/2了，而展开式有n+1项，所以得到证明。
2. 对于1+1/2n)^n<2 n。可以运用放缩法，将2n换成2，即可轻松得知。
注意本题的n要分情况说明，否则会被扣分。...
全部展开
既是证明
1.。3/2<=(1+1/2n)^n
将右式用二项式定理放开，对于第一项为1，第二项为1/2n*n是1/2，所以前两项已经不小于3/2了，而展开式有n+1项，所以得到证明。
2. 对于1+1/2n)^n<2 n。可以运用放缩法，将2n换成2，即可轻松得知。
注意本题的n要分情况说明，否则会被扣分。
收起