如图 △ABC是边长为2的等边三角形,D、E分别在BC、AC上,且角ADE=60度,设DC=X,AE=Y是否存在这样的点D使三角形ABD、ADE、DEC都相似

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/11/05 18:36:38

如图 △ABC是边长为2的等边三角形,D、E分别在BC、AC上,且角ADE=60度,设DC=X,AE=Y是否存在这样的点D使三角形ABD、ADE、DEC都相似
如图 △ABC是边长为2的等边三角形,D、E分别在BC、AC上,且角ADE=60度,设DC=X,AE=Y
是否存在这样的点D使三角形ABD、ADE、DEC都相似

如图 △ABC是边长为2的等边三角形,D、E分别在BC、AC上,且角ADE=60度,设DC=X,AE=Y是否存在这样的点D使三角形ABD、ADE、DEC都相似
三角形相似根本在于对应角相等.
∵等边三角形三个顶角都是60°,而∠ADE=60°
∴∠BAC=∠B=∠C=∠ADE=60°
∴∠BAD+∠ADB=120°,∠DAE+∠AED=120°
∵∠BAD+∠DAC=60°
∴∠ADB+∠AED=120°+120°-60°=180°
∵△ABD∽△ADE
∴∠BAD=∠DAC=30°,∠ADB=∠AED=90°
∴∠CDE=180°-90°-60°=30°,∠CED=180°-90°=90°
∴△ABD∽△ADE∽△DEC
∵∠BAD=∠DAC=30°,AB=AC=BC=2
∴D为BC的中点,即DC=1
∵∠CDE=30°,∠CED=90°
∴CE=DC/2=1/2
∴AE=2-1/2=3/2
所以当D为BC的中点时,△ABD、△ADE、△DEC相似.

本题好像还有什么关系式的结论吧，否则有些条件就多余了。
当D是BC的中点时，△ABC∼△ADE∼△DCE
理由：因为三角形ABC是等边三角形，BD=DC
∴AD⊥BC AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠DAE=60°/2=30° 又∠ADE=60°=∠B=∠C
∴∠CDE=90°-60°=30°
∴△ABC∼△ADE∼△DCE(分别都含有30°、60°角)

存在，取D点为BC中点，则AD⊥BC，同时DE⊥AC，则三个三角形均有一个直角和一个60°角，即相似。