复数z=x+yi(x,y∈R)满足|z-4i|=|z+2|,则2^x+4^y的最小值是

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/16 06:01:21

复数z=x+yi(x,y∈R)满足|z-4i|=|z+2|,则2^x+4^y的最小值是
复数z=x+yi(x,y∈R)满足|z-4i|=|z+2|,则2^x+4^y的最小值是

复数z=x+yi(x,y∈R)满足|z-4i|=|z+2|,则2^x+4^y的最小值是
由|z-4i|=|z+2|,得:
|x+yi-4i|=|x+yi+2|,
|x+(y-4)i|=|(x+2)+yi|,
即√[x^2+(y-4)^2]=√[(x+2)^2+y^2],
x^2+(y-4)^2=(x+2)^2+y^2,
化简,得:
x+2y=3.
又2^x>0,2^2y>0,
所以2^x+4^y=2^x+2^2y>=2*√(2^x*2^2y)=2*√2^3=4√2.
当且仅当2^x=2^2y,即x=2y,x=3/2,y=3/4时,取等号.
故所求的2^x+4^y的最小值是:4√2.