一个n位数k,如果k的平方的最后n位=k,也就是说k^2=k (mod 10^n),那么这种数就叫做n位自守数.问:1,四位自守数除了9376还有别的么?2,除了n=4时有这个性质,n还可以等于哪些整数?为什么
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/28 22:38:29
一个n位数k,如果k的平方的最后n位=k,也就是说k^2=k (mod 10^n),那么这种数就叫做n位自守数.问:1,四位自守数除了9376还有别的么?2,除了n=4时有这个性质,n还可以等于哪些整数?为什么
一个n位数k,如果k的平方的最后n位=k,也就是说k^2=k (mod 10^n),那么这种数就叫做n位自守数.
问:
1,四位自守数除了9376还有别的么?
2,除了n=4时有这个性质,n还可以等于哪些整数?为什么
一个n位数k,如果k的平方的最后n位=k,也就是说k^2=k (mod 10^n),那么这种数就叫做n位自守数.问:1,四位自守数除了9376还有别的么?2,除了n=4时有这个性质,n还可以等于哪些整数?为什么
没有了.
证明:以下a | b 表示a整除b.10000 | k(k-1),10000=2^4*5^4, => 5^4 | k,或者 5^4 | (k-1).同样2^4 | k,或者 2^4 | (k-1).综合考虑,有两种可能:(1.)5^4 | k,2^4 | (k-1).(2.)2^4 | k,5^4 | (k-1).
(1) k = 5^4 m = 625 m.
k-1 = 625 m -1 = m -1 (mod 16).又因为2^4 | (k-1),所以 m= 16 u + 1.也就是说 m = 1,17,.但k=625 m 需要是4位数,无解.
(2) k-1 = 625 m.
k = 625 m + 1 = m+1 (mod 16).又因为2^4 | k,所以 m = 15 u + 1.在4位数范围内只有m=15,k = 9376.
2.以上论证适用于任何n,基本上只需要把4次方改成n次方.结论是,对于n位数来说,需要分别解同余方程5^n * m -1 = 0 (mod 2^n) 和 5^n * m +1 = 0 (mod 2^n).