4道微积分大题国外的

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作变换 u = x²,则积分限变为[0²,1²]有：
[0,1]∫x(√1-x^4)dx
= [0,1]∫1/2 *(√1-x^4)dx²
= 1/2*[0,1] ∫(√1-u²)du
显然 y = √1-u² 表示的是以原点(0,0)为圆心,半径为1圆的在y>=0区域的半圆；
积分式[0,1]∫(√1-u²)du 表示位于第一想象限的1/4 圆的面积,因此：
  1/2*[0,1] ∫(√1-u²)du = 1/2 * 1/4*π*1² =π/8
 
 
[0,3]∫t*g(t²)dt = 1/2 *[0,3]∫g(t²)dt²
      作变换 u = t²,则 积分限变为 [0²,3²],有
      [0,3]∫t*g(t²)dt = 1/2 *[0,9] ∫g(u)du
                       = 1/2 *5 =5/2
(1)
      作变换 u = π/2 – x,则x = π/2–u,有：
      [0,π/2]∫f(cosx)dx = -[0,π/2]∫f(cos(π/2-u))d(π/2-u)
                          = -[0,π/2]∫f(sinu)(-du)
                          = [0,π/2]∫f(sinu)du
      由于定积分的积分变量只是形式变量,积分结果与积分变量用什么字符无关,因此：
      [0,π/2]∫f(cosx)dx = [0,π/2]∫f(sinx)dx
  (2)
      设 f(x) = x²,则 f(cosx) = cos²x,f(sinx)= sin²x,由(1)的结论可知：
      [0,π/2]∫cos²x*dx = [0,π/2]∫sin²x*dx
      而：
      [0,π/2]∫cos²x*dx + [0,π/2]∫sin²x*dx
= [0,π/2]∫(cos²x+ sin²x )*dx
= [0,π/2]∫dx =π/2
      因此：
      [0,π/2]∫cos²x*dx = [0,π/2]∫sin²x*dx =π/4；
 
   (a) 由分部积分公式：∫u*dv = u*v - ∫v*du
       令 u = f(x),v =x,则 du = f’(x)dx
       ∫f(x)*dx = f(x)*x - ∫x*d(f(x))
                 = x*f(x) - ∫x* f’(x)dx
   (b) 由(a)中结论,可有：
       [a,b]∫f(x)*dx = x*f(x)|[a,b] – [a,b]∫x* f’(x)dx
                       = [b*f(b) – a*f(a)] - [a,b]∫x* f’(x)dx
       对后一项作变换 y =f(x),则积分限变为[f(a),f(b)]；dy = f’(x)dx
x = f^(-1)(y),则有：
      [a,b]∫f(x)*dx = [b*f(b) – a*f(a)] - [a,b]∫x* f’(x)dx
= [b*f(b) – a*f(a)] - [f(a),f(b)]∫f^(-1)(y)dy
 
(c)如图所示

   积分式所表示的是点 aABb构成的曲边梯形的面积；
   b*f(b) 表示o、b、B、f(b) 四点构成的矩形面积；
   a*f(a) 表示o、a、A、f(a) 四点构成的矩形面积；
   [f(a),f(b)]∫f^(-1)(y)dy 表示的是阴影部分的面积,这部分以y为被积变量f^(-1)(y)为被积函数的曲边梯形的面积；
那么原积分式表示的面积就等于bf(b)面积去掉af(a)面积,再减去阴影部分面积；
这就是(b)中结论所表达的几何意义；
 
(d)
 设 f(x) = lnx,则f^(-1)(y) = e^y,由(b)结论有
[1,e]∫lnx*dx = [e*ln(e) – 1*ln(1)] - [ln(1),ln(e)]∫e^y*dy
               = e – 0 – e^y|[0,1] = 1

答：

具体的解答过程见下面的图片，点击图片可以放大，有问题可以追问，谢谢

答案如下请参考看不到

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