要算式的,不要应用题的

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二．鸡兔同笼问题
1．鸡与兔共100只,鸡的腿数比兔的腿数少28条,问鸡与兔各有几只?

4*100＝400,400-0＝400 假设都是兔子,一共有400只兔子的脚,那么鸡的脚为0只,鸡的脚比兔子的脚少400只.
400-28＝372 实际鸡的脚数比兔子的脚数只少28只,相差372只,这是为什么?
4+2＝6 这是因为只要将一只兔子换成一只鸡,兔子的总脚数就会减少4只（从400只变为396只）,鸡的总脚数就会增加2只（从0只到2只）,它们的相差数就会少4+2＝6只（也就是原来的相差数是400-0＝400,现在的相差数为396-2＝394,相差数少了400-394＝6）
372÷6＝62 表示鸡的只数,也就是说因为假设中的100只兔子中有62只改为了鸡,所以脚的相差数从400改为28,一共改了372只
100-62＝38表示兔的只数
三．数字数位问题
1．把1至2005这2005个自然数依次写下来得到一个多位数123456789.2005,这个多位数除以9余数是多少?

首先研究能被9整除的数的特点：如果各个数位上的数字之和能被9整除,那么这个数也能被9整除；如果各个位数字之和不能被9整除,那么得的余数就是这个数除以9得的余数.
解题：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45；45能被9整除
依次类推：1~1999这些数的个位上的数字之和可以被9整除
10~19,20~29……90~99这些数中十位上的数字都出现了10次,那么十位上的数字之和就是10+20+30+……+90=450 它有能被9整除
同样的道理,100~900 百位上的数字之和为4500 同样被9整除
也就是说1~999这些连续的自然数的各个位上的数字之和可以被9整除；
同样的道理：1000~1999这些连续的自然数中百位、十位、个位 上的数字之和可以被9整除（这里千位上的“1”还没考虑,同时这里我们少200020012002200320042005
从1000~1999千位上一共999个“1”的和是999,也能整除；
200020012002200320042005的各位数字之和是27,也刚好整除.
最后答案为余数为0.
2．A和B是小于100的两个非零的不同自然数.求A+B分之A-B的最小值...

(A-B)/(A+B) = (A+B - 2B)/(A+B) = 1 - 2 * B/(A+B)
前面的 1 不会变了,只需求后面的最小值,此时 (A-B)/(A+B) 最大.
对于 B / (A+B) 取最小时,(A+B)/B 取最大,
问题转化为求 (A+B)/B 的最大值.
(A+B)/B = 1 + A/B ,最大的可能性是 A/B = 99/1
(A+B)/B = 100
(A-B)/(A+B) 的最大值是： 98 / 100
3．已知A.B.C都是非0自然数,A/2 + B/4 + C/16的近似值市6.4,那么它的准确值是多少?
答案为6.375或6.4375
因为A/2 + B/4 + C/16＝8A+4B+C/16≈6.4,
所以8A+4B+C≈102.4,由于A、B、C为非0自然数,因此8A+4B+C为一个整数,可能是102,也有可能是103.
当是102时,102/16＝6.375
当是103时,103/16＝6.4375
4．一个三位数的各位数字 之和是17.其中十位数字比个位数字大1.如果把这个三位数的百位数字与个位数字对调,得到一个新的三位数,则新的三位数比原三位数大198,求原数.
答案为476
设原数个位为a,则十位为a+1,百位为16-2a
根据题意列方程100a+10a+16-2a－100（16-2a）-10a-a＝198
解得a＝6,则a+1＝7 16-2a＝4
答：原数为476.
5．一个两位数,在它的前面写上3,所组成的三位数比原两位数的7倍多24,求原来的两位数.
答案为24
设该两位数为a,则该三位数为300+a
7a+24＝300+a
a＝24
答：该两位数为24.
6．把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数,它与原数相加,和恰好是某自然数的平方,这个和是多少?
答案为121
设原两位数为10a+b,则新两位数为10b+a
它们的和就是10a+b+10b+a＝11（a+b）
因为这个和是一个平方数,可以确定a+b＝11
因此这个和就是11×11＝121
答：它们的和为121.
7．一个六位数的末位数字是2,如果把2移到首位,原数就是新数的3倍,求原数.
答案为85714
设原六位数为abcde2,则新六位数为2abcde（字母上无法加横线,请将整个看成一个六位数）
再设abcde（五位数）为x,则原六位数就是10x+2,新六位数就是200000+x
根据题意得,（200000+x）×3＝10x+2
解得x＝85714
所以原数就是857142
答：原数为857142
8．有一个四位数,个位数字与百位数字的和是12,十位数字与千位数字的和是9,如果个位数字与百位数字互换,千位数字与十位数字互换,新数就比原数增加2376,求原数.
答案为3963
设原四位数为abcd,则新数为cdab,且d+b＝12,a+c＝9
根据“新数就比原数增加2376”可知abcd+2376=cdab,列竖式便于观察
abcd
2376
cdab
根据d+b＝12,可知d、b可能是3、9；4、8；5、7；6、6.
再观察竖式中的个位,便可以知道只有当d＝3,b＝9；或d＝8,b＝4时成立.
先取d＝3,b＝9代入竖式的百位,可以确定十位上有进位.
根据a+c＝9,可知a、c可能是1、8；2、7；3、6；4、5.
再观察竖式中的十位,便可知只有当c＝6,a＝3时成立.
再代入竖式的千位,成立.
得到：abcd＝3963
再取d＝8,b＝4代入竖式的十位,无法找到竖式的十位合适的数,所以不成立.
9．有一个两位数,如果用它去除以个位数字,商为9余数为6,如果用这个两位数除以个位数字与十位数字之和,则商为5余数为3,求这个两位数.
设这个两位数为ab
10a+b＝9b+6
10a+b＝5（a+b）+3
化简得到一样：5a+4b＝3
由于a、b均为一位整数
得到a＝3或7,b＝3或8
原数为33或78均可以
10．如果现在是上午的10点21分,那么在经过28799...99(一共有20个9)分钟之后的时间将是几点几分?
答案是10：20

（28799……9（20个9）+1）/60/24整除,表示正好过了整数天,时间仍然还是10：21,因为事先计算时加了1分钟,所以现在时间是10：20
四．排列组合问题
1．有五对夫妇围成一圈,使每一对夫妇的夫妻二人动相邻的排法有（ ）
A 768种 B 32种 C 24种 D 2的10次方中

根据乘法原理,分两步：
第一步是把5对夫妻看作5个整体,进行排列有5×4×3×2×1＝120种不同的排法,但是因为是围成一个首尾相接的圈,就会产生5个5个重复,因此实际排法只有120÷5＝24种.
第二步每一对夫妻之间又可以相互换位置,也就是说每一对夫妻均有2种排法,总共又2×2×2×2×2＝32种
综合两步,就有24×32＝768种.
2 若把英语单词hello的字母写错了,则可能出现的错误共有 ( )
A 119种 B 36种 C 59种 D 48种

5全排列5*4*3*2*1=120
有两个l所以120/2=60
原来有一种正确的所以60-1=59
五．容斥原理问题
1． 有100种赤贫.其中含钙的有68种,含铁的有43种,那么,同时含钙和铁的食品种类的最大值和最小值分别是( )
A 43,25 B 32,25 C32,15 D 43,11
根据容斥原理最小值68+43-100＝11
最大值就是含铁的有43种
2．在多元智能大赛的决赛中只有三道题.已知:(1)某校25名学生参加竞赛,每个学生至少解出一道题;(2)在所有没有解出第一题的学生中,解出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍:(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1人;(4)只解出一道题的学生中,有一半没有解出第一题,那么只解出第二题的学生人数是( )
A,5 B,6 C,7 D,8
根据“每个人至少答出三题中的一道题”可知答题情况分为7类：只答第1题,只答第2题,只答第3题,只答第1、2题,只答第1、3题,只答2、3题,答1、2、3题.
分别设各类的人数为a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123
由（1）知：a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123＝25…①
由（2）知：a2+a23＝（a3+ a23）×2……②
由（3）知：a12+a13+a123＝a1－1……③
由（4）知：a1＝a2+a3……④
再由②得a23＝a2－a3×2……⑤
再由③④得a12+a13+a123＝a2+a3－1⑥
然后将④⑤⑥代入①中,整理得到
a2×4+a3＝26
由于a2、a3均表示人数,可以求出它们的整数
当a2＝6、5、4、3、2、1时,a3＝2、6、10、14、18、22
又根据a23＝a2－a3×2……⑤可知：a2>a3
因此,符合条件的只有a2＝6,a3＝2.
然后可以推出a1＝8,a12+a13+a123＝7,a23＝2,总人数＝8+6+2+7+2＝25,检验所有条件均符.
故只解出第二题的学生人数a2＝6人.
3．一次考试共有5道试题.做对第1、2、3、、4、5题的分别占参加考试人数的95%、80%、79%、74%、85%.如果做对三道或三道以上为合格,那么这次考试的合格率至少是多少?
答案：及格率至少为71％.
假设一共有100人考试
100-95＝5
100-80＝20
100-79＝21
100-74＝26
100-85＝15
5+20+21+26+15＝87（表示5题中有1题做错的最多人数）
87÷3＝29（表示5题中有3题做错的最多人数,即不及格的人数最多为29人）
100-29＝71（及格的最少人数,其实都是全对的）
及格率至少为71％
六．抽屉原理、奇偶性问题
1．一只布袋中装有大小相同但颜色不同的手套,颜色有黑、红、蓝、黄四种,问最少要摸出几只手套才能保证有3副同色的?
可以把四种不同的颜色看成是4个抽屉,把手套看成是元素,要保证有一副同色的,就是1个抽屉里至少有2只手套,根据抽屉原理,最少要摸出5只手套.这时拿出1副同色的后4个抽屉中还剩3只手套.再根据抽屉原理,只要再摸出2只手套,又能保证有一副手套是同色的,以此类推.
把四种颜色看做4个抽屉,要保证有3副同色的,先考虑保证有1副就要摸出5只手套.这时拿出1副同色的后,4个抽屉中还剩下3只手套.根据抽屉原理,只要再摸出2只手套,又能保证有1副是同色的.以此类推,要保证有3副同色的,共摸出的手套有：5+2+2=9（只）
答：最少要摸出9只手套,才能保证有3副同色的.
2．有四种颜色的积木若干,每人可任取1-2件,至少有几个人去取,才能保证有3人能取得完全一样?
答案为21

每人取1件时有4种不同的取法,每人取2件时,有6种不同的取法.
当有11人时,能保证至少有2人取得完全一样:
当有21人时,才能保证到少有3人取得完全一样.
3．某盒子内装50只球,其中10只是红色,10只是绿色,10只是黄色,10只是蓝色,其余是白球和黑球,为了确保取出的球中至少包含有7只同色的球,问：最少必须从袋中取出多少只球?
需要分情况讨论,因为无法确定其中黑球与白球的个数.
当黑球或白球其中没有大于或等于7个的,那么就是：
6*4+10+1=35(个)
如果黑球或白球其中有等于7个的,那么就是：
6*5+3+1＝34（个）
如果黑球或白球其中有等于8个的,那么就是：
6*5+2+1＝33
如果黑球或白球其中有等于9个的,那么就是：
6*5+1+1＝32
4．地上有四堆石子,石子数分别是1、9、15、31如果每次从其中的三堆同时各取出1个,然后都放入第四堆中,那么,能否经过若干次操作,使得这四堆石子的个数都相同?（如果能请说明具体操作,不能则要说明理由）
不可能.
因为总数为1+9+15+31＝56
56/4＝14
14是一个偶数
而原来1、9、15、31都是奇数,取出1个和放入3个也都是奇数,奇数加减若干次奇数后,结果一定还是奇数,不可能得到偶数（14个）.
七．路程问题
1．狗跑5步的时间马跑3步,马跑4步的距离狗跑7步,现在狗已跑出30米,马开始追它.问：狗再跑多远,马可以追上它?

根据“马跑4步的距离狗跑7步”,可以设马每步长为7x米,则狗每步长为4x米.
根据“狗跑5步的时间马跑3步”,可知同一时间马跑3*7x米＝21x米,则狗跑5*4x＝20米.
可以得出马与狗的速度比是21x：20x＝21：20
根据“现在狗已跑出30米”,可以知道狗与马相差的路程是30米,他们相差的份数是21-20＝1,现在求马的21份是多少路程,就是 30÷（21-20）×21＝630米
2．甲乙辆车同时从a b两地相对开出,几小时后再距中点40千米处相遇?已知,甲车行完全程要8小时,乙车行完全程要10小时,求a b 两地相距多少千米?
答案720千米.
由“甲车行完全程要8小时,乙车行完全程要10小时”可知,相遇时甲行了10份,乙行了8份（总路程为18份）,两车相差2份.又因为两车在中点40千米处相遇,说明两车的路程差是（40+40）千米.所以算式是（40+40）÷（10-8）×（10+8）＝720千米.
3．在一个600米的环形跑道上,兄两人同时从同一个起点按顺时针方向跑步,两人每隔12分钟相遇一次,若两个人速度不变,还是在原来出发点同时出发,哥哥改为按逆时针方向跑,则两人每隔4分钟相遇一次,两人跑一圈各要多少分钟?
答案为两人跑一圈各要6分钟和12分钟.

600÷12=50,表示哥哥、弟弟的速度差
600÷4=150,表示哥哥、弟弟的速度和
（50+150）÷2=100,表示较快的速度,方法是求和差问题中的较大数
（150-50）/2=50,表示较慢的速度,方法是求和差问题中的较小数
600÷100=6分钟,表示跑的快者用的时间
600/50=12分钟,表示跑得慢者用的时间
4．慢车车长125米,车速每秒行17米,快车车长140米,车速每秒行22米,慢车在前面行驶,快车从后面追上来,那么,快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车需要多少时间?
答案为53秒
算式是（140+125)÷(22-17)=53秒
可以这样理“快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车”就是快车车尾上的点追及慢车车头的点,因此追及的路程应该为两个车长的和.
5．在300米长的环形跑道上,甲乙两个人同时同向并排起跑,甲平均速度是每秒5米,乙平均速度是每秒4.4米,两人起跑后的第一次相遇在起跑线前几米?
答案为100米
300÷（5-4.4）＝500秒,表示追及时间
5×500＝2500米,表示甲追到乙时所行的路程
2500÷300＝8圈……100米,表示甲追及总路程为8圈还多100米,就是在原来起跑线的前方100米处相遇.
6．一个人在铁道边,听见远处传来的火车汽笛声后,在经过57秒火车经过她前面,已知火车鸣笛时离他1360米,(轨道是直的),声音每秒传340米,求火车的速度（得出保留整数）
答案为22米/秒
算式：1360÷(1360÷340+57）≈22米/秒
关键理人在听到声音后57秒才车到,说明人听到声音时车已经从发声音的地方行出1360÷340＝4秒的路程.也就是1360米一共用了4+57＝61秒.
7．猎犬发现在离它10米远的前方有一只奔跑着的野兔,马上紧追上去,猎犬的步子大,它跑5步的路程,兔子要跑9步,但是兔子的动作快,猎犬跑2步的时间,兔子却能跑3步,问猎犬至少跑多少米才能追上兔子.
正确的答案是猎犬至少跑60米才能追上.

由“猎犬跑5步的路程,兔子要跑9步”可知当猎犬每步a米,则兔子每步5/9米.由“猎犬跑2步的时间,兔子却能跑3步”可知同一时间,猎犬跑2a米,兔子可跑5/9a*3＝5/3a米.从而可知猎犬与兔子的速度比是2a：5/3a＝6：5,也就是说当猎犬跑60米时候,兔子跑50米,本来相差的10米刚好追完
8． AB两地,甲乙两人骑自行车行完全程所用时间的比是4:5,如果甲乙二人分别同时从AB两地相对行使,40分钟后两人相遇,相遇后各自继续前行,这样,乙到达A地比甲到达B地要晚多少分钟?
答案：18分钟
设全程为1,甲的速度为x乙的速度为y
列式40x+40y=1
x:y=5:4
得x=1/72 y=1/90
走完全程甲需72分钟,乙需90分钟
故得解
9．甲乙两车同时从AB两地相对开出.第一次相遇后两车继续行驶,各自到达对方出发点后立即返回.第二次相遇时离B地的距离是AB全程的1/5.已知甲车在第一次相遇时行了120千米.AB两地相距多少千米?
答案是300千米.
通过画线段图可知,两个人第一次相遇时一共行了1个AB的路程,从开始到第二次相遇,一共又行了3个AB的路程,可以推算出甲、乙各自共所行的路程分别是第一次相遇前各自所走的路程的3倍.即甲共走的路程是120*3＝360千米,从线段图可以看出,甲一共走了全程的（1+1/5）.
因此360÷（1+1/5）＝300千米
从A地到B地,甲、乙两人骑自行车分别需要4小时、6小时,现在甲乙分别AB两地同时出发相向而行,相遇时距AB两地中点2千米.如果二人分别至B地,A地后都立即折回.第二次相遇点第一次相遇点之间有（）千米
10．一船以同样速度往返于两地之间,它顺流需要6小时;逆流8小时.如果水流速度是每小时2千米,求两地间的距离?
（1/6-1/8）÷2＝1/48表示水速的分率
2÷1/48＝96千米表示总路程
11．快车和慢车同时从甲乙两地相对开出,快车每小时行33千米,相遇是已行了全程的七分之四,已知慢车行完全程需要8小时,求甲乙两地的路程.

相遇是已行了全程的七分之四表示甲乙的速度比是4：3
时间比为3：
所以快车行全程的时间为8/4*3＝6小时
6*33＝198千米
12．小华从甲地到乙地,3分之1骑车,3分之2乘车;从乙地返回甲地,5分之3骑车,5分之2乘车,结果慢了半小时.已知,骑车每小时12千米,乘车每小时30千米,问:甲乙两地相距多少千米?

把路程看成1,得到时间系数
去时时间系数：1/3÷12+2/3÷30
返回时间系数：3/5÷12+2/5÷30
两者之差：（3/5÷12+2/5÷30）-（1/3÷12+2/3÷30）=1/75相当于1/2小时
去时时间：1/2×（1/3÷12）÷1/75和1/2×（2/3÷30）1/75
路程：12×〔1/2×（1/3÷12）÷1/75〕+30×〔1/2×（2/3÷30）1/75〕=37.5（千米）
八．比例问题
1．甲乙两人在河边钓鱼,甲钓了三条,乙钓了两条,正准备吃,有一个人请求跟他们一起吃,于是三人将五条鱼平分了,为了表示感谢,过路人留下10元,甲、乙怎么分?快
答案：甲收8元,乙收2元.

“三人将五条鱼平分,客人拿出10元”,可以理解为五条鱼总价值为30元,那么每条鱼价值6元.
又因为“甲钓了三条”,相当于甲吃之前已经出资3*6＝18元,“乙钓了两条”,相当于乙吃之前已经出资2*6＝12元.
而甲乙两人吃了的价值都是10元,所以
甲还可以收回18-10＝8元
乙还可以收回12-10＝2元
刚好就是客人出的钱.
2．一种商品,今年的成本比去年增加了10分之1,但仍保持原售价,因此,每份利润下降了5分之2,那么,今年这种商品的成本占售价的几分之几?
答案22/25
最好画线段图思考：
把去年原来成本看成20份,利润看成5份,则今年的成本提高1/10,就是22份,利润下降了2/5,今年的利润只有3份.增加的成本2份刚好是下降利润的2份.售价都是25份.
所以,今年的成本占售价的22/25.
3．甲乙两车分别从A.B两地出发,相向而行,出发时,甲.乙的速度比是5:4,相遇后,甲的速度减少20%,乙的速度增加20%,这样,当甲到达B地时,乙离A地还有10千米,那么A.B两地相距多少千米?

原来甲.乙的速度比是5:4
现在的甲：5×（1-20％）＝4
现在的乙：4×（1+20％）4.8
甲到B后,乙离A还有：5-4.8＝0.2
总路程：10÷0.2×（4+5）＝450千米
4．一个圆柱的底面周长减少25%,要使体积增加1/3,现在的高和原来的高度比是多少?
答案为64：27
根据“周长减少25％”,可知周长是原来的3/4,那么半径也是原来的3/4,则面积是原来的9/16.
根据“体积增加1/3”,可知体积是原来的4/3.
体积÷底面积＝高
现在的高是4/3÷9/16＝64/27,也就是说现在的高是原来的高的64/27
或者现在的高：原来的高＝64/27：1＝64：27
5．某市场运来香蕉、苹果、橘子和梨四种水果其中橘子、苹果共30吨香蕉、橘子和梨共45吨.橘子正好占总数的13分之2.一共运来水果多少吨?
第二题：答案为65吨
橘子+苹果＝30吨
香蕉+橘子+梨＝45吨
所以橘子+苹果+香蕉+橘子+梨＝75吨
橘子÷（香蕉+苹果+橘子+梨）＝2/13
说明：橘子是2份,香蕉+苹果+橘子+梨是13份
橘子+香蕉+苹果+橘子+梨一共是2+13＝15份