如图,AB是⊙O的直径,点C在BA的延长线上,直线CD与⊙O相切与点D,弦DF⊥AB于点E,线段CD=10,连接BD.(1)求证:角CDE=2角B(2)求证线段CA,DF的长
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/10/06 00:09:12
如图,AB是⊙O的直径,点C在BA的延长线上,直线CD与⊙O相切与点D,弦DF⊥AB于点E,线段CD=10,连接BD.(1)求证:角CDE=2角B(2)求证线段CA,DF的长
如图,AB是⊙O的直径,点C在BA的延长线上,直线CD与⊙O相切与点D,弦DF⊥AB于点E,线段CD=10,连接BD.
(1)求证:角CDE=2角B
(2)求证线段CA,DF的长
如图,AB是⊙O的直径,点C在BA的延长线上,直线CD与⊙O相切与点D,弦DF⊥AB于点E,线段CD=10,连接BD.(1)求证:角CDE=2角B(2)求证线段CA,DF的长
(1)证明:连接OD.
∵直线CD与⊙O相切于点D,
∴OD⊥CD,∠CDO=90 °,∠CDE+∠ODE=90 °.
又∵DF⊥AB,
∴∠DEO=∠DEC=90°.
∴∠EOD+∠ODE=90°,∴∠CDE=∠EOD.
又∵∠EOD=2∠B,∴∠CDE=2∠B.
(2)连接AD.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90
°.
BD:AB= √3:2
∴∠B=30°.
∴∠AOD=2∠B=60°.又∵∠CDO=90°,∴∠C=30°.
在Rt△CDO中,CD=10,∴OD=10tan30°=10/3 √3,
即⊙O的半径为10/3 √3.
在Rt△CDE中,CD=10,∠C=30°
∴DE=CDsin30°=5.
∵DF⊥AB于点E,
∴DE=EF=1/2 DF.
∴DF=2DE=10.