作业帮求一道线性代数求秩与其一个最高阶非零子式的题目的详解矩阵A（矩阵的括号省略了）：1 -1 2 1 02 -2 4 2 03 0 6 -1 10 3 0 0 1求矩阵A的秩,并求一个最高阶非零子式
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/09 05:15:49
求一道线性代数求秩与其一个最高阶非零子式的题目的详解矩阵A（矩阵的括号省略了）：1 -1 2 1 02 -2 4 2 03 0 6 -1 10 3 0 0 1求矩阵A的秩,并求一个最高阶非零子式
求一道线性代数求秩与其一个最高阶非零子式的题目的详解
矩阵A（矩阵的括号省略了）：
1 -1 2 1 0
2 -2 4 2 0
3 0 6 -1 1
0 3 0 0 1
求矩阵A的秩,并求一个最高阶非零子式
求一道线性代数求秩与其一个最高阶非零子式的题目的详解矩阵A（矩阵的括号省略了）：1 -1 2 1 02 -2 4 2 03 0 6 -1 10 3 0 0 1求矩阵A的秩,并求一个最高阶非零子式
存在 可逆阵P 使得 PAP^(-1)=B
其中 B是分块矩阵,其左上角的 r*r 子阵B_11 可逆,其余3块都为0.
构造M0 = B + C,其中 C是分块矩阵,其右下角是 （n-r)*(n-r)的单位阵E_(n-r),其余3块都为0.
构造Mi,i=1,...,n-r,如下：
Mi 为对角阵,其对角线元素都为1,但有一个例外：第n-i+1个元素为0.
显然 B=M0*M1*...*M(n-r),其中 M0 可逆,r(Mi) = n-1,i=1,...,n-r.
所以 A=P^(-1)BP
= P^(-1)M0*M1*...*M(n-r)P
= D1*D2*.*D(n-r),
其中,D1= P^(-1)M0*M1,
Di = Mi,i = 2,...,n-r-1,
D(n-r)=M(n-r)*P,
为n-r个秩为n-1的n阶矩阵的乘积
1 -1 2 1 0
2 -2 4 2 0
3 0 6 -1 1
0 3 0 0 1
=
1 -1 2 1 0
0 0 0 0 0
0 3 0 -4 1
0 3 0 0 1
=
1 -1 2 1 0
0 3 0 0 1
0 0 0 ...
全部展开
1 -1 2 1 0
2 -2 4 2 0
3 0 6 -1 1
0 3 0 0 1
=
1 -1 2 1 0
0 0 0 0 0
0 3 0 -4 1
0 3 0 0 1
=
1 -1 2 1 0
0 3 0 0 1
0 0 0 -4 0
0 0 0 0 0
=
1 0 2 0 1/3
0 3 0 0 1
0 0 0 -4 0
0 0 0 0 0
因此秩为3
一个最高级非零子式为：
1 -1 2 1
3 0 6 -1
0 3 0 0
收起
先化为 第一行1 0 2 0 1/3 第二行0 1 0 0 1/3 第三行0 0 0 1 0 第四行0 0 0 0 0 所以秩为3.其中一个非零子式为 三阶单位矩阵