一道数学证明题 高二上学期的...不太会,当a＞b＞c＞0,请证明：a的2a次方*b的2b次方*c的2c次方＞a的b+c次方*b的c+a次方*c的a+b次方接出来了我肯定给加分一楼童鞋 如果不考虑a、b是否＞1怎么能得

一道数学证明题 高二上学期的...不太会,当a＞b＞c＞0,请证明：a的2a次方*b的2b次方*c的2c次方＞a的b+c次方*b的c+a次方*c的a+b次方接出来了我肯定给加分一楼童鞋 如果不考虑a、b是否＞1怎么能得
一道数学证明题 高二上学期的...不太会,
当a＞b＞c＞0,请证明：a的2a次方*b的2b次方*c的2c次方＞a的b+c次方*b的c+a次方*c的a+b次方
接出来了我肯定给加分
一楼童鞋 如果不考虑a、b是否＞1
怎么能得出(a/b)^a>=(a/b)^b呢？

一道数学证明题 高二上学期的...不太会,当a＞b＞c＞0,请证明：a的2a次方*b的2b次方*c的2c次方＞a的b+c次方*b的c+a次方*c的a+b次方接出来了我肯定给加分一楼童鞋 如果不考虑a、b是否＞1怎么能得
见图.
在这之前为了防止LZ看不懂,作个说明,我们有熟知的不等式：(a/b)^(a-b)>=1.
这个很好证明,若a>b,则(a/b)>1,a-b>0,显然(a/b)^(a-b)>1成立.
而若a<b,则a/b<1,但此时a-b<0,于是仍然有(a/b)^(a-b)>1成立.
而当a=b时(a/b)^(a-b)恰好等于1.
有这个基础就请LZ看我图片里的解答吧.

楼主请看：这里不需要a,b>1，
(a/b)^a>=(a/b)^b这个式子，
当a>b的时候,a/b是大于1的， 所以a/b的a次方要大于a/b的b次方
a这里不需要a,b>1，证明过程中只用到了a/b和1来比大小
首先说明，这题只需要a,b,c都是正数就可以...

全部展开

楼主请看：这里不需要a,b>1，
(a/b)^a>=(a/b)^b这个式子，
当a>b的时候,a/b是大于1的， 所以a/b的a次方要大于a/b的b次方
a这里不需要a,b>1，证明过程中只用到了a/b和1来比大小
首先说明，这题只需要a,b,c都是正数就可以了，a>b>c的条件可以不需要，只需要a,b,c不完全相等就可以了.
证明如下: （用^表示指数)
首先证明a^ab^b>=a^bb^a
即证(a/b)^a>=(a/b)^b
若a>b,则a/b>1,上式成立
若a若a=b,则左边=右边，上式成立。
所以可以得到a^ab^b>=a^bb^a （a,b都是正数）
所以有：
a^ab^b>=a^bb^a
b^bc^c>=b^cc^b
c^ca^a>=c^aa^c
三式相乘，得
a^(2a)b^(2b)c^(2c)≥a^(b+c)b^(c+a)c^(a+b)
等号当且仅当a=b=c的时候取等号
因为a,b,c不完全相等，所以等号无法取到。
所以a^(2a)b^(2b)c^(2c)>a^(b+c)b^(c+a)c^(a+b)
这个证明充分利用了对称式子的特点

收起

前面的方法很巧妙。
再提供一个一般方法。
由于不等式都是乘法与乘方的形式，可以取对数，化为加法与乘法的形式，于是，
原不等式<=>
2a ln a+2b ln b +2c ln c > (b+c) ln a+(c+a) ln b+ (a+b) ln c，
这就可以通过排序不等式证明了。
因为a＞b＞c＞0，所以ln a＞ ln b＞ ln c

全部展开

前面的方法很巧妙。
再提供一个一般方法。
由于不等式都是乘法与乘方的形式，可以取对数，化为加法与乘法的形式，于是，
原不等式<=>
2a ln a+2b ln b +2c ln c > (b+c) ln a+(c+a) ln b+ (a+b) ln c，
这就可以通过排序不等式证明了。
因为a＞b＞c＞0，所以ln a＞ ln b＞ ln c
则a ln a+b ln b+ c lnc > a ln b+ b ln c +c ln a;
a ln a+b ln b+ c lnc > a ln c+ b ln a +c ln b;
（顺序和≥乱序和≥倒序和）
由于a、b、c互不相等，故上面两个不等式中不能取等号。
以上两式相加，即得欲证。

收起

原不等式可化为
(a^a)*(a^a)*(b^b)*(b^b)*(c^c)*(c^c)>(a^b)*(a^c)*(b^a)*(b^c)*(c^a)*(c^b)
[(a^a)*(b^b)]*[(a^a)*(c^c)]*[(b^b)*(c^c)]>[(a^b)*(b^a)]*[(a^c)*(c^a)]*[(b^c)*(c^b)]
因为a＞b＞c＞0，所以以上全部例如(a^a)等...

全部展开

原不等式可化为
(a^a)*(a^a)*(b^b)*(b^b)*(c^c)*(c^c)>(a^b)*(a^c)*(b^a)*(b^c)*(c^a)*(c^b)
[(a^a)*(b^b)]*[(a^a)*(c^c)]*[(b^b)*(c^c)]>[(a^b)*(b^a)]*[(a^c)*(c^a)]*[(b^c)*(c^b)]
因为a＞b＞c＞0，所以以上全部例如(a^a)等全为正的。
所以只要证明(a^a)*(b^b)>(a^b)*(b^a)且(a^a)*(c^c)>(a^c)*(c^a)且(b^b)*(c^c)>(b^c)*(c^b)就可以了。
而只要证明其中一个就可同理推出其他几个成立。
证明(a^a)*(b^b)>(a^b)*(b^a)
所以a^a/a^b>b^a/b^b
所以a^(a-b)>b^(a-b)--(1)
当1>a>b>0,那么a-b<1,令y=x^a(0当a>1>b>0，那么无论a-b大于或小于1，（1）都成立
当a>b>1,那么（1）必成立
所以，无论a,b是什么正数（1）必成立。
同理其他两个也可以这样证明。
所以原不等式成立。
我只是个高一的，如果有错希望大家跟我说一声，知道的账号为永泰地主王。
qq号为790619202

收起