已知定点P(6,4)及定直线l:y=4x,点Q在直线l上(Q在第一象限),直线PQ交x轴正半轴于点M,要使△OMQ的面积最小
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/27 04:13:02
已知定点P(6,4)及定直线l:y=4x,点Q在直线l上(Q在第一象限),直线PQ交x轴正半轴于点M,要使△OMQ的面积最小
已知定点P(6,4)及定直线l:y=4x,点Q在直线l上(Q在第一象限),直线PQ交x轴正半轴于点M,要使△OMQ的面积最小
已知定点P(6,4)及定直线l:y=4x,点Q在直线l上(Q在第一象限),直线PQ交x轴正半轴于点M,要使△OMQ的面积最小
40
解析,设,Q点的坐标为(t,4t),由于直线PQ要与x正半轴相交,那么4t>4,故,t>1,
斜率k(PQ)=(4t-4)/(t-6),那么直线PQ的方程为,y-4=(4t-4)/(t-6)*(x-6)
当y=0时,x=5t/(t-1),也就是,OM=5t/(t-1)
由于,OQ=√17*t,设直线OQ与x正半轴的夹角为a,k(OQ)=tana=4,那么sina=4/√17...
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解析,设,Q点的坐标为(t,4t),由于直线PQ要与x正半轴相交,那么4t>4,故,t>1,
斜率k(PQ)=(4t-4)/(t-6),那么直线PQ的方程为,y-4=(4t-4)/(t-6)*(x-6)
当y=0时,x=5t/(t-1),也就是,OM=5t/(t-1)
由于,OQ=√17*t,设直线OQ与x正半轴的夹角为a,k(OQ)=tana=4,那么sina=4/√17
故,S△(OMQ)=1/2*OQ*OM*sina=1/2*√17t*5t(t-1)*4/√17=10t²/(t-1),
t²/(t-1)={(t-1)²+2(t-1)+1}/(t-1)=t-1+1/(t-1)+2≥4,当且仅当,t-1=1/(t-1),即是t=2时取等号。
因此,S△(OMQ)=10t²/(t-1)≥4*10=40
故,S△(OMQ)的最小值为40。
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∵Q在直线y=4x上,∴可令点Q的坐标为(m,4m)。
∴PQ的方程为(y-4)/(x-6)=(4m-4)/(m-6)。令其中的y=0,得:
-4/(x-6)=4(m-1)/(m-6),∴x-6=(6-m)/(m-1),
∴x=6+(6-m)/(m-1)=(6m-6+6-m)/(m-1)=5m/(m-1)。
∴点M的坐标为(5m/(m-1),0)。
∵点M在...
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∵Q在直线y=4x上,∴可令点Q的坐标为(m,4m)。
∴PQ的方程为(y-4)/(x-6)=(4m-4)/(m-6)。令其中的y=0,得:
-4/(x-6)=4(m-1)/(m-6),∴x-6=(6-m)/(m-1),
∴x=6+(6-m)/(m-1)=(6m-6+6-m)/(m-1)=5m/(m-1)。
∴点M的坐标为(5m/(m-1),0)。
∵点M在x轴的正半轴上,∴5m/(m-1)>0,∴|OM|=5m/(m-1)。
设△OMQ的面积为S,则:S=(1/2)|OM|(4m)=10m^2/(m-1)。
∴10m^2=Sm-S,∴10m^2-Sm+S=0。
∵m是实数,∴(-S)^2-4×10S≧0。而S显然是正数,∴S≧40。
∴此时S的最小值为40。
将S=40代入10m^2-Sm+S=0中,得:10m^2-40m+40=0,∴m^2-4m+4=0,
∴(m-2)^2=0,∴m=2,∴4m=8。
∴满足条件的点Q的坐标是(2,8)。
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