恩格斯在《在马克思墓前的讲话》中提到：“甚至他在数学领域都有独到的见解”.那么,马克思的数学成就有

恩格斯在《在马克思墓前的讲话》中提到：“甚至他在数学领域都有独到的见解”.那么,马克思的数学成就有
恩格斯在《在马克思墓前的讲话》中提到：“甚至他在数学领域都有独到的见解”.那么,马克思的数学成就有

恩格斯在《在马克思墓前的讲话》中提到：“甚至他在数学领域都有独到的见解”.那么,马克思的数学成就有
马克思数学手稿的具体内容
恩格斯称马克思为“科学巨匠”.他说,马克思研究的科学领域是很多的,而且对任何一个领域都不是肤浅地研究的,甚至在数学领域也有独到的发现.[1]（P574—575）
马克思一生酷爱数学,从19世纪40年代起,直到逝世前不久,数十年如一日地利用闲暇时间学习和钻研数学,给我们留下了近千页数学手稿,其中有读书摘要、心得笔记和述评,以及一些研究论文的草稿.20世纪30年代以后,马克思的数学手稿和其他手稿一起,一直保存在荷兰首都阿姆斯特丹的国际社会史研究所的档案馆中.
数学研究紧密结合经济学研究
起初,马克思在与恩格斯和其他人的通信中讨论初等数学问题居多.例如,他在1864年的一封信中有关于数字计算的议论：“可以看出：不太大的计算,例如在家庭开支和商业中,从来不用数字而只用石子和其他类似的标记在算盘上进行.在这种算盘上定出几条平行线,同样几个石子或其他显著的标记在第一行表示几个,在第二行表示几十,在第三行表示几百,在第四行表示几千,余类推.这种算盘几乎整个中世纪都曾使用,直到今天中国人还在使用.至于更大一些的数学计算,则在有这种需要之前古罗马人就已有乘法表或毕达哥拉斯表,诚然,这种表还很不方便,还很繁琐.因为这种表一部分是用特殊符号,一部分是用希腊字母（后用罗马字母）编制成的.……在作很大的计算时,旧方法造成不可克服的障碍,这一点从杰出的数学家阿基米得所变的戏法中就可以看出来.”[2]（P650）
1864年5月30日,恩格斯在给马克思的信中写道：“看了你那本弗朗克尔的书,我钻到算术中去了；……以初等方式来陈述诸如根、幂、级数、对数之类的东西是否方便.不管怎样好地利用数字例题来说明,我总觉得这里只限于用数字,不如用a+b作简单的代数说明来得清楚,这是因为用一般的代数式子更为简单明了,而且这里不用一般的代数式子也是不行的.”[3]（P357）
马克思关于数学的笔记和他研究政治经济学的材料有紧密的联系.在1846年的一个经济学笔记本中,最后几页全是各种代数运算；在以后的许多笔记本中也都记有数学公式和图形,还有整页整页的算草；在为撰写《政治经济学批判大纲》准备材料的笔记本中他画了一些几何图形,记录了关于分数指数和对数的公式.1858年1月11日马克思在致恩格斯的信中说：“在制定政治经济学原理时,计算的错误大大地阻碍了我,失望之余,只好重新坐下来把代数迅速地温习一遍.算术我一向很差,不过间接地用代数方法,我很快又会计算正确的.”[4]（P247）马克思曾为自己能把高等数学的某些公式用于经济学的研究而深感高兴.1868年1月8日马克思写信给恩格斯谈到工资问题的研究时,他说：“工资第一次被描写为隐藏在它后面的一种关系的不合理的表现形式,这一点通过工资的两种形式即计时工资和计件工资得到了确切的说明（在高等数学中常常可以找到这样的公式,这对我很有帮助）.”[5]（P12）
看来,马克思的数学兴趣与他希望把数学运用于经济学研究有关.在1873年5月31日给恩格斯的信中谈到经济危机的研究时,他说：“为了分析危机,我不止一次地想计算出这些作为不规则曲线的升和降,并曾想用数学公式从中得出危机的主要规律（而且现在我还认为,如有足够的经过检验的材料,这是可能的）.”[6]（P87）在《资本论》中我们也能看到数学的运用,据拉法格回忆,马克思曾经强调说：一门科学只有当它达到了能够成功地运用数学时,才算真正发展了.[7]（P8）我理解,马克思这里所说的运用数学,不仅仅是运用数学的计算方法,而且也要运用数学的思维方法和论证方法.
对微积分的学习、思索和历史考察
19世纪60年代以后,马克思陆续阅读了一大批微积分方面的书籍,其中有布沙拉（J．L．B．ucharlat）、辛德（J．Hind）、拉库阿（S．F．Lacr．ix）、霍尔（G．Hall）等人各自编写的微积分教科书,还有牛顿有关的数学原著等等,写下了详细的读书笔记.马克思对这些教科书进行比较,开始了自己对于微分学中一些问题的独立的思考.于1881年前后,马克思撰写了关于微分学的历史发展进程、论导函数概念、论微分以及关于泰勒定理等问题的研究草稿,而且对于这些问题都曾写过多遍草稿,例如,关于泰勒定理留下了八份草稿.
马克思把微分学看作科学上的一种新发现、新事物,考察它是怎样产生的,产生以后遇到一些什么困难,经历了怎样的曲折发展.马克思对微积分有过一段生动的而又富有哲理的描述：“人们自己相信了新发现的算法的神秘性.这种算法通过肯定是不正确的数学途径得出了正确的（尤其在几何应用上是惊人的）结果.人们就这样把自己神秘化了,对这新发现评价更高了,使一群旧式正统派数学家更加恼怒,并且激起了敌对的叫嚣,这种叫嚣甚至在数学界以外产生了反响,而为新事物开拓道路,这是必然的.”[8]（P88）
马克思把从牛顿（1642—1727）、莱布尼茨（1646—1716）创建微分学到拉格朗日（J．L．Lagrange1736—1813）的发展,约一百多年的发展过程分为三个阶段,分别称为：“神秘的微分学”、“理性的微分学”、“纯代数的微分学”.在牛顿和莱布尼茨时期,新生的微积分很快在应用上获得了惊人的成功,但是从旧的传统数学看来,这种新算法,比如微分过程,正是通过不正确的数学途径得到正确的结果的.在同一个公式的推导过程中Δx和dx既作为有限的量,却又消失为零,在逻辑上显示出矛盾；时为什么能有确定的值,等等,都不能从理论上给出合理的解释.人们认为微分学是神秘的.牛顿和莱布尼茨,以及后继者们都希望给微分学找到合乎逻辑的说明,他们为此付出了很大的努力.以达朗贝尔（J．L．R．D’Alembert,1717-1783）为代表的“理性的微分学”和以拉格朗日为代表的“纯代数的微分学”,都是这种努力的一定阶段的成果.马克思指出：“这里,像在别处一样,给科学撕下神秘的面纱是重要的.”[8]（P139）
马克思力图运用辩证法观点去分析微分学的困难.他认为“理解微分运算时的全部困难”,“正像理解否定之否定本身”一样,要把“否定”理解为发展的环节,并且要从量和质的统一看待量的变化.在微分过程中,在量的否定,比如量的消失中,看到其间仍保存着特定的质的关系,即y对x的函数关系所制约的质的关系.因此,当增量Δx变为零,Δy也变为零,时能具有特定的值,即导函数.马克思说,要把握的真正含义,“唯一的困难是在逐渐消失的量之间确定一个比的这种辩证的见解.”[9]（P16）
马克思以比较简单的多项式函数的微分过程为例,参照比较了多种教科书,运用上述观点,选择了一种具体的推导步骤以说明这种函数的微分过程的合理性,从而说明微分学的神秘性是可以摆脱的.这样的内容,现在看来固然是很浅显的,也不足以说明一般函数的微分过程.但这也是马克思为撕下微分学的神秘面纱所做的一份历史性的努力.
马克思曾劝说恩格斯研究微积分.他在1863年7月6日给恩格斯的信中说：“有空时我研究微积分.顺便说说,我有许多关于这方面的书籍,如果你愿意研究,我准备寄给你一本.我认为这对于你的军事研究几乎是必不可缺的.况且,这个数学部门（仅就技术方面而言）,例如同高等代数比起来,要容易得多.除了普通代数和三角以外,并不需要先具备什么知识,但是必须对圆锥曲线有一个一般的了解.”[2]（P357）
马克思对高等数学的兴趣和钻研影响和带动了恩格斯,1865年以后,他们在通信中讨论得更多的则是微积分方面的问题了.马克思在一封给恩格斯的信的附件中说：“全部微分学本来就是求任意一条曲线上的任何一点的切线.我就想用这个例子来给你说明问题的实质.”马克思是用求抛物线y[2]=ax上某一点m的切线的例子,认真画了图,向恩格斯作详细讲解的.[3]（P168—169）
1881年马克思把一份“论导数概念”的手稿和一份“论微分”手稿誊抄清楚,先后寄给了恩格斯.恩格斯认真阅读了这些手稿,于1881年8月18日给马克思写了一封很长的讨论导函数的回信,信中说：“这件事引起我极大的兴趣,以致我不仅考虑了一整天,而且做梦也在考虑它：昨天晚上我梦见我把自己的领扣交给一个青年人去求微分,而他拿着领扣溜掉了.”[10]（P21—23）
在马克思的影响下,恩格斯对微积分也越来越有兴趣了,他在《反杜林论》、《自然辩证法》等哲学著作中,不但大段大段地谈论微积分,精辟地分析高等数学与初等数学的区别,而且还有对于微积分的高得不能再高的赞誉：“在一切理论成就中,未必再有什么像十七世纪下半叶微积分的发明那样看作人类精神的最高胜利了.如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩,那就正在这里.”[11]（P611）
从数学中学习辩证法
马克思和恩格斯都非常明确地认为,数学是建立辩证唯物主义哲学的一个重要基础.恩格斯指出：“要确立辩证的同时又是唯物主义的自然观,需要具备数学和自然科学的知识.”[12]（第三版序言）
在旧哲学中,黑格尔是论述数学比较多的.恩格斯曾经指出：“黑格尔的数学知识极为丰富,甚至他的任何一个学生都没有能力把他遗留下来的大量数学手稿整理出版.据我所知,对数学和哲学了解到足以胜任这一工作的唯一的人,就是马克思.”[3]（P471）马克思忙于自己的研究和革命活动,并没有承担这一工作.不过,他在数学手稿中把微分学的发展同德国唯心主义哲学的发展联系起来,作了有趣的对比.当他探讨牛顿、莱布尼茨与他们的后继者的关系时,他说：“正像这样,费希特继承康德,谢林继承费希特,黑格尔继承谢林,无论费希特、谢林、黑格尔都没有研究过康德的一般基础,即唯心主义本身；否则他们就不能进一步发展康德的唯心主义.”[8]（P88）
马克思把研究数学作为丰富唯物辩证法的一个源泉.他通过自己对数学的多年钻研,深有体会地认为,在高等数学中,他找到了最符合逻辑的同时又是形式最简单的辩证运动.在马克思的数学手稿中能够看到这方面的记述.
数学手稿的出版、翻译和人们的看法
马克思曾经打算把自己对数学的一些研究成果写成正式论文,但他反复改写了多遍草稿,却没有来得及写完.他生前曾嘱咐小女儿爱琳娜：“要她和恩格斯一起处理他的全部文稿,并关心出版那些应该出版的东西,特别是第二卷（按：指《资本论》第二卷）和一些数学著作.”[13]（P42）马克思逝世以后,恩格斯也曾希望把自己在自然辩证法方面的研究成果同马克思遗留下来的数学手稿一齐发表.[11]（第三版序言）但是由于他肩负着整理出版马克思的最重要的著作——《资本论》第二卷、第三卷的重任,上述愿望没有能够实现.
马克思关于微分学的几篇论文草稿和一些札记于1933年译成俄文与读者见面,即在纪念马克思逝世五十周年的时候才第一次发表在苏联的理论刊物《在马克思主义旗帜下》,随后收入文集《马克思主义与自然科学》.1968年在前苏联出版了马克思数学手稿的比较完全的德俄对照本[14],书中对各个时期的手稿写了较详细的记述.此外,对马克思的数学手稿,还陆续出版过内容和编排不一的德文本、日文本、意大利文本等等.在国际学术界引起了学者们的重视和兴趣.如日本的玉木美彦、今野武雄早就撰文介绍过马克思数学手稿的内容.1977年在西德召开的国际数学史会议上,美国学者肯尼迪（H．C．Kennedy）作了题为《马克思与微积分基础》的学术报告.美国著名数学史家斯特洛依克（D．J．Struik）1978年在《数学评论》杂志上写文章介绍了这篇报告.前几年,还有美国科学史方面的研究生在研究马克思数学手稿的传播和影响.
在我国,早从1949年起,许默夫就发表过关于马克思数学手稿的文章（注：许默夫的有关马克思数学手稿的几篇文章,先后发表在《东北日报》（1949年5月5日）、《自然科学》（1951年第1卷）、《数学通报》（1958年第12期）、《新科学》（1955年第2期）等报刊上.）,后来有些学者从日文本或俄文本将部分内容翻译过来.1973年1月北京大学成立了马克思数学手稿编译组,依据苏联1968年出版的德俄对照本进行翻译.为了翻译准确,为了能从德文原文直接译成中文,北京大学于1974年通过外交途径从荷兰购得全部数学手稿原件的复印照片,将其中关于微积分的大部分论述和部分初等数学札记翻译成中文,编排成书,由人民出版社于1975年正式出版.（注：1973年1月,当时马克思恩格斯列宁著作编译局的负责人王惠德同志把一本《马克思数学手稿》（1968年的德俄对照本,是一位瑞士记者送给他的）交给了孙小礼,建议由北京大学来组织翻译.北大欣然接受这一建议,立即成立了北京大学马克思数学手稿编译组,由邓东皋、孙小礼具体负责,动员了数学系、西语系、俄语系、哲学系的教师参加翻译工作,德文方面有江泽涵、姚保琮、冷生明、丁同仁等人,俄文方面有吴文达、黄敦、郭仲衡、鲍良骏、颜品中等人.1974年3月译出了马克思关于微积分的大部分论述,请于光远、胡世华、陆汝钤和编译局杨彦君等同志帮助校对后,于1974年5月由北京大学学报印出专刊：马克思数学手稿（试译本）.1974年冬购得马克思数学手稿原件的照片后,由谙悉德文的江泽涵、姚保琮两位教授仔细辨认马克思原稿手迹,同冷生明、丁同仁、邓东皋等人反复讨论推敲,对原来的译文进行核校、修改和补充.最后又请北京师范大学的张禾瑞教授、蒋硕民教授对全部译稿从德文作了详细校订之后,才由人民出版社于1975年7月出版了马克思的《数学手稿》.）
两种极端的看法
马克思《数学手稿》一书于1975年在我国编译出版以后,出现了两种极端的看法.一是过分地在数学上抬高马克思,说马克思为微积分奠定了理论基础,把19世纪许多卓越数学家的重要成就都视为形而上学,惟有马克思的论述才是符合辩证法的,甚至要在教学中用马克思《数学手稿》代替微积分教材.这种作法显然是极其错误的,既违背马克思的本意,也不符合数学发展的实际,对于高等数学教学只能产生有害的影响.另一种极端的看法则认为马克思根本不懂数学,至少不懂高等数学,写于19世纪的《数学手稿》没有什么学术价值,不值得翻译出版.这种完全否定的态度也是缺乏历史分析、不符合实际的.
由于这两种看法在不同程度上一直延续到现在,所以,我感到把马克思的《数学手稿》放在当时的历史条件下,根据其具体内容,做出实事求是的恰当的评价是必要的,有现实意义的.
数学手稿：一份宝贵的历史文献
通过阅读马克思数学手稿,以及马克思的著作和通信中有关数学的论述,联系到几十年来马克思数学手稿在我国的翻译、介绍、出版和影响,我特撰写本文谈谈自己对马克思数学手稿的理解和看法,就教于对此有兴趣的朋友们,也作为对马克思逝世120周年的纪念.
读读马克思数学手稿,就感到马克思是深钻到数学中去了,确如恩格斯所说：“马克思是精通数学的.”[12]当然,所谓“精通”,不能要求马克思通晓当时数学的全部,正好像现在堪称“精通”数学的专家也不可能对当前数学的全部内容都了如指掌一样.事实上,正如恩格斯所说：“对于自然科学,我们只能作零星的、时停时续的、片断的研究”,而且“自然科学本身也正处在如此巨大的变革过程中,以至那些即使有全部空闲时间来从事于此的人,也很难跟踪不失”[12].马克思生前还没有来得及跟踪19世纪数学分析方面的重要成就,还没有阅读当时已经出版的,像哥西的《分析教程》（1821年初版）那样的一些重要著作.由于马克思还不了解微积分经过波尔察诺（B．B．lzan,1781-1848）、哥西（A.L.Cauchy,1789-1857）、外尔斯特拉斯（K.W.T.Weierstrass,1815-1897）等数学家的努力以后所取得的逐步“完善”的形式,因而他也不可能运用极限理论做出像后来人们所理解的那样来阐明微积分的本质.
马克思不是专职数学家,也没有对数学本身做出重大建树,他的数学手稿之所以受到人们重视,首先,因为他是人类历史上的伟大思想家,而他又在数学这一园地上数十年如一日地执着地辛勤耕耘过,这一事迹是人类文化史上所罕见的,是历史上任何一位思想家都难以相比的.现在我们读到的数学手稿,就是他以自己的独特方式辛勤耕耘的历史足迹,这足迹能够保留下来,为世人所知,是令人感到宝贵的,而且值得加以研究和回味,从中获得有益的启迪.
其次,在马克思数学手稿中,确有至今还在闪光的思想和见解.比如马克思在考察了微分学的具体历史发展过程以后,曾做出这样的论断：“新事物和旧事物之间的真实的从而是最简单的联系,总是在新事物自身取得完善的形式后才被发现.”[8]（P144）这是对新旧事物关系的哲理性概括,也是对人的认识规律的哲理性概括,对人们的认识进展很有启发.
第三,在马克思主义理论中,非常注重人,尤其注重人的全面发展.马克思对自由时间或闲暇时间,也就是非劳动时间的重要性有深刻的论述,他把自由时间看作财富,把休闲看作人的生活的重要组成部分.那么,马克思自己怎样度过闲暇时间呢?据马克思的女婿拉法格回忆：“除了读诗歌和小说以外,马克思还有一种独特的精神休养方法,这就是他十分喜爱的数学.代数甚至给他以精神上的安慰；在他那惊涛骇浪的一生中有些最痛苦的时期,他总是以此自慰.”[7]（P8）
马克思曾对恩格斯说：“在工作之余——当然不能老是写作——我就搞搞微分学.我没有耐心再去读别的东西.任何其他读物总是把我赶回写字台来.”[3]（P124）马克思对数学的特殊爱好,使他在任何情况下都能使自己沉浸于数学之中.当马克思的夫人燕妮身患重病——肝癌的时候,他给恩格斯写信说：“写文章现在对我来说几乎是不可能了.我能用来使心灵保持必要平静的唯一的事情,就是数学.”[2]（P113）他的关于微分学的研究草稿,正是在1881年燕妮病危的那些痛苦的日子里写作的.

微积分