23.如图,等腰梯形ABCD中,AD‖BC,点E是线段AD上的一个动点,（E与A、D不重合）,G、F、H分别是BE、BC、CE的中点.（1）试探索四边形EGFH的形状,并说明理由.（2）当点E运动到什么位置时,四边形EGFH是菱

23.如图,等腰梯形ABCD中,AD‖BC,点E是线段AD上的一个动点,（E与A、D不重合）,G、F、H分别是BE、BC、CE的中点.（1）试探索四边形EGFH的形状,并说明理由.（2）当点E运动到什么位置时,四边形EGFH是菱
23.如图,等腰梯形ABCD中,AD‖BC,点E是线段AD上的一个动点,（E与A、D不重合）,G、F、H分别是BE、BC、CE的中点.
（1）试探索四边形EGFH的形状,并说明理由.
（2）当点E运动到什么位置时,四边形EGFH是菱形,并说明理由.
（3）若（2）中的菱形EGFH是正方形,请探索线段EF与线段BC的关系,并证明你的结论.

23.如图,等腰梯形ABCD中,AD‖BC,点E是线段AD上的一个动点,（E与A、D不重合）,G、F、H分别是BE、BC、CE的中点.（1）试探索四边形EGFH的形状,并说明理由.（2）当点E运动到什么位置时,四边形EGFH是菱
（1）平行四边形
∵G、F、H分别是BE、BC、CE的中点
∴在ΔABC中,HF//EB GF//EC
∴四边形EGFH是平行四边形
（2）若EGFH为菱形,则GF=GE=EH=HF
∵EG=1/2BE EH=1/2CE
∴BE=CE
∴角EBC=角ECB
∵等腰梯形ABCD 角ABC=角DCB
又角ABE=角ABC-角EBC
角DCE=角DCB-角ECB
∴角ABE=角DCE
然后就是ΔABE与ΔDCE边角边全等
∴AE=ED
当E运动到AD中点位置时,四边形EGFH为菱形
（3）EF⊥BC 且 EF=BF=1/2BC
∵四边形EGFH为正方形
∴角BEC=90度
则角EBC=角ECB=45度
∵EB=EC,F为BC中点
∴中线EF⊥BC
则角BEF=45度=角EBC
∴EF=BF=1/2BC

：（1）四边形EGFH是平行四边形．
理由是：∵G、F、H分别是BE、BC、CE的中点，
∴GF∥EH，GF=EH
∴四边形EGFH是平行四边形．
（2）当点E是AD的中点时，四边形EGFH是菱形．
证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AB=DC，∠A=∠D，
在△ABE与△DCE中，
∵AB=DC∠A=，∠DAE=DE​...

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：（1）四边形EGFH是平行四边形．
理由是：∵G、F、H分别是BE、BC、CE的中点，
∴GF∥EH，GF=EH
∴四边形EGFH是平行四边形．
（2）当点E是AD的中点时，四边形EGFH是菱形．
证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AB=DC，∠A=∠D，
在△ABE与△DCE中，
∵AB=DC∠A=，∠DAE=DE​，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴BE=CE
∵G、H分别是BE、CE的中点，
∴EG=EH
又∵由（1）知四边形EGFH是平行四边形，
∴四边形EGFH是菱形．
（3）EF⊥BC，EF=12BC
证明：∵四边形EGFH是正方形，
∴EG=EH，∠BEC=90°
∵G、H分别是BE、CE的中点，
∴根据中位线定理知道EB=EC，
∵F是BC的中点，E为AD的中点，
∴△BEC为等腰直角三角形，
∴EF⊥BC，EF=12BC．

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证明：（1）G、F、H是BE、BC、CE的中点，
∴EG∥HF，EH∥GF，
∴四边形GFHE是平行四边形．
（2）当点E运动到边AD的中点时，四边形EGFH是菱形．
理由：∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，
∴∠A=∠D，AB=CD，
在△ABE和△DCE中，
AB=DC∠A=∠DAE=DE​，
∴△ABE≌△DCE（S...

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证明：（1）G、F、H是BE、BC、CE的中点，
∴EG∥HF，EH∥GF，
∴四边形GFHE是平行四边形．
（2）当点E运动到边AD的中点时，四边形EGFH是菱形．
理由：∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，
∴∠A=∠D，AB=CD，
在△ABE和△DCE中，
AB=DC∠A=∠DAE=DE​，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴BE=CE，
∵G、F、H是BE、BC、CE的中点，
∴FH=EG=12BE，FG=EH=12CE，
∴EG=FG=FH=EH，
∴四边形EGFH是菱形；
（3）EF=12BC．垂直．
证明：∵四边形EGFH是正方形，
∴∠BGF=∠CHF=90°，
∵FG=EG=BG=FH=EH=CH，
∴△BGF≌△FHC，
∴BF=FC，
∵BE=CE，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴EF=12BC，EF⊥BC．

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（1）平行四边形
∵G、F、H分别是BE、BC、CE的中点
∴在ΔABC中，HF//EB GF//EC
∴四边形EGFH是平行四边形

（2）若EGFH为菱形，则GF=GE=EH=HF
∵EG=1/2BE  EH=1/2CE
∴BE=CE
∴角EBC=角ECB
∵等腰梯形ABCD 角ABC=角DCB
又角ABE=角ABC-角EBC
  角DCE=角DCB-角ECB
∴角ABE=角DCE
然后就是ΔABE与ΔDCE边角边全等
∴AE=ED
当E运动到AD中点位置时，四边形EGFH为菱形

（3）EF⊥BC 且 EF=BF=1/2BC
∵四边形EGFH为正方形
∴角BEC=90度
则角EBC=角ECB=45度

∵EB=EC,F为BC中点
∴中线EF⊥BC
则角BEF=45度=角EBC
∴EF=BF=1/2BC

（1） EFGH为平行四边形
理由;∵G、F、H分别是BE、BC、CE的中点
∴GF‖EC 且GF=1/2EC
FH‖BE 且FH=1/2BE
∴ EFGH为平行四边形
（2）当点E运动到AD的中点时，四边形EGFH是菱形
证明：∵四边形ABCD是等腰梯形
∴AB=CD ∠A=∠D
∵AE=DE
∴△ABE≌△DCE

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（1） EFGH为平行四边形
理由;∵G、F、H分别是BE、BC、CE的中点
∴GF‖EC 且GF=1/2EC
FH‖BE 且FH=1/2BE
∴ EFGH为平行四边形
（2）当点E运动到AD的中点时，四边形EGFH是菱形
证明：∵四边形ABCD是等腰梯形
∴AB=CD ∠A=∠D
∵AE=DE
∴△ABE≌△DCE
∴BE=CE
由（1）可知GF=1/2EC FH=1/2BE
∴GF=FH
∵ EFGH为平行四边形
∴四边形EFGH是菱形
（3）EF垂直平分BC
证明：∵ 菱形EGFH是正方形
∴∠GEF=EGF=∠GFH=∠FHE=∠BGF=∠FHC=90°
∵BE=CE
∴∠EBF=∠GFB=∠HFC=∠HCF=45°
∴△BGF≌△HFC
∴BF=CF
连结EF 则∠EFG=45°
∴∠EFB=∠BFG+∠EFG=90° 即EF⊥BC
∴ EF垂直平分BC

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