柏拉图多面体

篇一：柏拉图的多面体

并不是由柏拉图所发明，但是却是由柏拉图及其追随者对它们所作的研究而得名，由于它们具有高度的对称性及次序感，因而通常被称为正多面体，但是，在这里，我们仍以柏拉图多面体称之，以免与其它有规则的多面体产生混淆。柏拉图多面体所有的面都是不自交、以直线段为边长的正凸多边形平面，每一种多面体都只有一种正多边形的表面，而且在每一个顶点处都有相同数目的面交会。不仅在每一个顶点处都有相同数目的面交会，而且在每一个顶点处所有交会的面的内角之总和会相等。

简介

熟悉柏拉图多面体的最佳方法莫过于经由构造模型并透过模型研究它们。下图表示一种称之为”展开图”的个别柏拉图多面体平面排列图示。为了构造柏拉图多面体的模型，一组类似的展开图必须被描绘在适当的材料上。同学可以将本资料所附之多面体的展开图直接剪下或经放大、缩小影印在合适的漂亮纸张上。如果材料不方便影印，您也可以依样绘制或把影印展开图并贴在所用材料上。

Albrecht Durei早在1525年，于他所著的《Unterweisung der Messung Mit dem Zirkel und Richtsheit》一书中，给出了几个多面体的展开图。

编辑本段为什么只有五个柏拉图多面体

很容易看出柏拉图多面体每一个都是凸的，并且在每一个顶点处交会着相同数目、相似、正的凸多边形。要理解为什么只有五个柏拉图多面体是相当简单的，这是因为在每一个顶点处交会着至少三个面才能构造出一个立体图形，而且围绕每一个顶点的面的角度和不能等于或超过360°，否则所得的面将是平的或是凹的。

具有最少边数的正多边形是正三角形，三个如此的多边形可以使它们交会在一个顶点上，接下来，加入第四个面，如此，每三个面就会交会在图形的四个顶点处之一。由于这个图形有四个全等的面，故称之为正四面体(TETRAHEDRON)。 四个正三角形可以使它们交会在一个顶点上，而且加入四个面之后，在图形的六个顶点处都会有四个面交会在这里。由于这个图形有八个面，故称之为正八面体(OCTAHEDRON)。

另外，我们可以构造出五个正三角形可以交会在它的12个顶点处的图形。由于这样的图形有20个面。故称之为正二十面体。

假如六个正三角形交会在一顶点处，那么交会在这顶点的面的角之总和为

360°，于是这些三角形将构成一平面或是凹面。所以表面是正三角形的柏拉图多面体只能有三种。

接下来要考虑的多边形是正方形，我们可以构造成三个正方形交会在它的八个顶点处的多面体，它是另一种柏拉图多面体，一般称之为正方立体（CUBE），由于它有六个面，故亦称之为正六面体（HEXAHEDRON）。

一个凸多面体不能由每个顶点处都有四个正方形交会，这是由于交会在每个顶点处的面的角之总和将会是360°

接下来考虑的是有五个等边及五个内角均是108°的正五边形。一个多面体可以由三个交会在它的20个顶点处的正五边形所构成所得的图形称之为正十二面体（DODECAHEDRON），这是由于它有12个面的缘故。通常我们也将其称之为正五角十二面体。

四个五边形将不能交会在一顶点而构成一凸多面体，这是由于这些交会在一顶点的面的角之总和将超过360°

接下来考虑的是正六边形，但是假如三个正六边形交会在一顶点处那么这些面的角之总和将是360°，于是构成一平面。从这里也可以看出多边形的面数愈多，它们的内角就愈大，多于六边的正多边形其三个内角之总和将超过360°，于是，无法将它们连接在一起而构成一正的凸多面体。

编辑本段只有五种正多面体的证明

假设一个正多面体共有 V 个顶点、F 块面及 E 条边；每一块面均为正 n 边形，且每一个顶点共有 m 块面的顶点相连。

由于共有 F 块面，且每块面均为正 n 边形，所以将该正多面体拆开为 F 个正 n 边形后，应有 nF 条边；

由于一个顶点与其他 m 个顶点相连，所以将该正多面体拆开为 F 个正 n 边形后，应有 mV 个顶点，因多边形顶点数目和边的数目相等，即共有 mV 条边； 同样地，当多个正 n 边形合成为一个正多面体时，两个正 n 边形的各一条边便会合并成正多面体的一条边，所以将该正多面体拆开后，应有 2E 条边； 因此，可得 nF = mV = 2E

利用欧拉公式 V + F - E = 2

代入 V 及 F 得

重整后得

因 E 须为正整数 (m - 2)(n - 2) < 4

因着基本立体几何及平面几何，m > 2 及 n > 2，所以 (m, n) 只可能为 (3, 3)、(3, 4)、(4, 3)、(3, 5) 及 (5, 3)；即 (V, F, E) 只可能为 (4, 4, 6)、(8, 6, 12)、(6, 8, 12)、(20, 12, 30) 及 (12, 20, 30)。

编辑本段柏拉图多面体与宇宙万物的关系

火====四面体

水====二十面体

土====六面体

空气====八面体

宇宙====十二面体

1.说明

柏拉图体即为正多面体。

编辑本段2.定义

定义：

如果一个多面体的所有面都是全等正多边形，所有多面角也全等，我们就说它是正多面体（柏拉图体）。

有无限多种正多边形，而正多面体只有五种。正多面体根据面的数目来命名，也就是：

4个正三角形的正4面体；

6个正方形的正6面体（立方体）；

8个正三角形的正8面体；

12个正五边形的正12面体；

20个正三角形的正20面体。

编辑本段3.发展史

正多面体发源史已消失在过去的烟云里。欧几里德《原本》第八卷才开始用数学的眼光看它们。第一卷的第一个注释指出，本卷“将处理所谓的柏拉图体，那名称实在是错了。因为其中的三种，正4面体，立方体，正12面体来自毕达格拉斯学派，而正8面体和正20面体来自泰阿泰德（Theaeteus）。”事实也许真是这样。

不管怎么说，柏拉图描绘了5种正多面体。他在《蒂迈欧篇》里讲了如何拿正三角形，正方形和正五边形来构造正多面体的面。柏拉图的蒂迈欧（Timaeus），就是毕达格拉斯门下的洛克里的蒂迈欧。柏拉图大概在访问意大利时见过他。在柏拉图的作品里，蒂迈欧神秘地将4种易构造的多面体：正4面体，正6面体，正8面体，正20面体，配给恩培多克勒（Empedocles）的一切物质的四种基本“元素”：火气水土。剩下的正20面体，就特意拿它来联系包围我们的宇宙。 编辑本段4.柏拉图体的特性

1）内接于同一个球的正12面体的体积大于正20面体的体积，立方体的体积大于正八面体的体积。

2）内接于同一个球的正12面体和正20面体具有这共同的内接球，立方体和正八面体也有共同的内接球。

3）如果正12面体，正20面体和立方体内接于同一个球，那么正12面体的体积与正20面体的体积之比，等于立方体边长与正20面体的边长之比。

4）如果正12面体与正20面体内接于同一个球，那么二者体积之比等于表面积之比。

5）内接于同一个球的正12面体和正20面体具有相等的表面周长。

编辑本段5.柏拉图体只有5种的证明

顶点数V，面数F，棱数E

设正多面体的每个面是正n边形，每个顶点有m条棱。棱数E应是面数F与n的积的一半（每两面共用一条 棱），即

nF=2E -------------- ①

同时，E应是顶点数V与m的积的一半，即

mV=2E -------------- ②

由①、②，得

F=2E/n, V=2E/m,

代入欧拉公式V+F-E=2，

有2E/m+2E/n-E=2

整理后，得1/m+1/n=1/2+1/E.

由于E是正整数，所以1/E>0。因此

1/m+1/n>1/2 -------------- ③

说明m,n不能同时大于3，否则③不成立。另一方面，由于m和n的意义（正多面体一个顶点处的棱数与多 边形的边数）知，m≥3且n≥3。因此m和n至少有一个等于3

当m=3时，因为1/n>1/2-1/3=1/6,n又是正整数，所以n只能是3，4，5 同理n=3，m也只能是3，4，5

所以有以下几种情况：

类型 n m

3 3 正四面体

4 3 正六面体

3 4 正八面体

5 3 正十二面体

3 5 正二十面体

由于上述5种多面体确实可以用几何方法作出，而不可能有其他种类的正多面体 所以正多面体只有5种

编辑本段6.柏拉图体展开图

柏拉图体展开图：

篇二：五个柏拉图立体

五个柏拉图立体

正四面体

正四面体是由四个全等正三角形围成的空间封闭图形。

它有4个面，6条棱，4个顶点。正四面体是最简单的正多面体。

立方体

立方体，是由6个正方形面组成的正多面体，故又称正六面体。它有12条边和8个顶点。正方体是特殊的长方体。

正八面体

正八面体是五种正多面体的第三种，有6个顶点和12条边8个面。它由八个等边三角形构成，也可以看做上、下两个正方椎体黏合而成，每个正方椎体由四个三角形与一个正方

形组成。

正八面体

正八面体展开图

正八面体的对偶多面体是立方体。

正八面体内嵌在立方体中时，6个顶点分别位于立方体的面心：

正八面体体积 : 立方体体积

=[(1/3)×高×底面积]×2 : 边^3

=(1/3)(n/2)(n^2/2)×2 : n^3

=1 : 6

正十二面体

简述

正十二面体是五个柏拉图立体之一,共有二十个顶点、三十条边和十二个面,而每一个面皆是正五边形。

正十二面体的体积公式

V正十二面体=(15+7√5)/4×a^3

特征系列 5,0,5,5,5,5,5,0,5,5,0,5,0,5,0,5,0,5

正十二面体是由 12 个 正五边形 所组成的 正多面体 。 若以正十二面体的中心为(0,0,0)，各顶点的坐标为{(0,±1/φ,±φ), (±1/φ,±φ,0), (±φ,0,±1/φ), (±1,±1,±1)}，其中φ = (1+√5)/2， 黄金分割数 。

哈密尔顿图 的理论就是源自一个和正十二面体有趣的问题：试求一条路径，沿正十二面体的棱经过它所有的顶点。

日常生活

。

- 硫化铁 结晶体有时会出现接近正十二面体的形状。

- 最小的 富勒烯 C20结构如正十二面体。

- 因为一年有十二个月，正十二面体正好用来制作月历。

正二十面体

正二十面体是由 20 个等边 三角形 所组成的 正多面体 ，共有12个顶点，30条棱，20个面。为五个柏拉图多面体之一。

正二十面体的体积公式

V正二十面体=(15+5√5)/12×a^3

接正十二面体

在平面上，正 多边形 内接到 圆时，边数越多，占圆面积的百分比就较高；而在三维空间中，这个规则却不能推广——当 正十二面体 和正二十面体内接到一个球 时，前者约占66.4909%，后者仅占60.5461%

某些 病毒 ，如 疱疹病毒科 ，拥有正二十面体的 衣壳 。

正二十面体:20面/12顶/30棱

特征系列 3,0,3,3,3,0,3,3,0,3,3,0,3,3,0,3,0,3,0,3,0,3,0,3,0,3,0,3,0,3,0,3,0,3 展开图

篇三：欧拉多面体公式

多面体欧拉公式的历史、建立过程和方法

古希腊的毕达哥拉斯学派和柏拉图学派,他们发现了五种正多面体:正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。欧几里得在《几何原本》中曾试图证明只有这五种正多面体,但没有成功。在很长的历史时期里,这个问题没有解决。后来,人们逐渐认识到,依靠角度、长度、面积等几何量的测量或计算,这个问题难以解决,而从多面体的顶点数、棱数和面数的关系入手,有可能获得成功。

1639年,笛卡儿考察了五种正多面体顶点数(V)、棱数(E)和面数(F)的关系,采用不完全归纳法,猜测到:顶点数与面数之和减去棱数,是一个不变量2,也就是:V+F-E=2。后来,他又用一些简单的多面体来验证自己的猜想,但是没有给出严格的证明,也没有发表。

1751年,欧拉给出了这一性质的一个证明。后人称它为多面体欧拉公式。欧拉之所以对这一性质感兴趣,是要用它来做多面体的分类。[1]但欧拉没有考虑到连续变换下的不变性。 欧拉问题的提出：任意一个三角形的内角和为180度,与三角形的形状无关,进而得到任一个凸n边形的内角和为(n?2)?,表明凸多边形的内角和由边数完全决定,而与形状无关。那么，推广到空间,对于由若干个多边形围成的凸多面体,是否也有某种类似的简单性质呢?欧拉就这样由类比提出了问题。 欧拉证明如下：

一个多面体有几种角呢?每条棱处有一个由两个面组成的二面角;每个顶点处,有一个由相交于这个顶点的各个面所围成的角,叫立体角(它的大小等于以立体角顶点为球心的单位球面被这个立体角的各个面所截出的球面多边形的面积的大小)；每个面多边形的每一个内角,叫多面体的

一个面角。欧拉首先考察多面体的所有二面角之和(记为

角之和(记为??）及所有立体??),看它们是否有某种简单的性质。

欧拉从最简单的多面体—四面体开始考察。四面体由四个三角形围成(图1),为了便于计算,欧拉考察了两种退化的情形。

(1)四面体退化成一个三角形和它内部一点与三个顶点所连成的线段(图2)。

(2)四面体退化成一个平面凸四边形和它的两条对角线(图3)

。

对于情形(1)(图2),三角形三边处的二面角皆为0，内部三条线段处的二面角皆为?，所以???3?.三角形三个顶点处立体角皆为?,内部顶点处的立体角等于2?(即半个单

2位球面的面积,球面面积为4?r),所以???2?。

对于情形(2)(图3),四边形四条边处的二面角皆为O,两条对角线处的二面角皆为?,所以???2?.四个顶点处的立体角皆为0,所以??

?0.

可见四面体的二面角之和与立体角之和都与四面体的形状有关,没有类似于三角形内角和定理这样简单的性质.多么令人失望啊,然而欧拉并没有就此止步,因为还有面角和尚未考察呢.

记多面体的面角和为

和??,欧拉先考察四面体.四面体由四个三角形围成,所有面角之 ???4?,与四面体的形状无关.这个结果对欧拉是一个鼓舞.继续考察五面体.

五面体(一)(图4)由两个三角形和三个四边形围成,所有面角之和

???2???3?(4?2)??8?

五面体(二)(图5)由一个四边形和四个三角形围成,所有面角之和

???(4?2)??4???6?

这两个??不等,说明面角和不能简单地由面的个数来决定.

欧拉接着又考察了几个多面体,看能不能从中发现什么规律

?

立方体(图6)由六个正方形围成,所有面角之和 ???6?(4?2)??12?

???8???8? 正八面体(图7)由八个三角形围成,所有面角之和

五棱柱(图8)由两个凸五边形和五个平行四边形围成,所有面角之和

???2?(5?2)??5?(4?2)??16?

???5?(4?2)??4???14?

将观察所得材料进行归纳,???4?。尖顶塔形(图9)是在立方体上加一个四棱锥,由五个正方形和四个三角形围成,所有面角之和从上述数据能发现什么规律吗?欧拉发现虽然它们都不相等,但都小于2V?（此处V是 多面体的顶点数),且与2V?的差是一个常数2V??

寻找和发现规律,决不是一种简单的一眼就能看出的事情,在这里,如何进行归纳是能否发现规律的关键.欧拉把观察所得面角和与ZV二进行比较,表现了非凡的创造性,导致了发现.

欧拉认为上述结果不像是偶然的巧合,因为在考察的多面体中,既有规则的(例如立方 体、正四面体和正八面体)也有不规则的(例如五面体(一)和(二))以及五棱柱和尖顶塔形.于是欧猜想:对于任意凸多面体有

???2V??4? (1)

即多面体的面角和由它的顶点数完全决定.注意,这只是一个猜想.

欧拉接着又考察了一些多面体,结果可以列成下表

.

所得结果均支持上述猜想，这些虽然增加了猜想成立的可能性，但欧拉明白这还不是对一般情形的证明。

接下来,欧拉从另一角度计算多面体的面角和??.

设多面体各个面多边形的边数分别为S1,S2,S3,?,SF此处F是多面体的面的个数.于是乏???(S1?2)??(S2?2)????(SF?2)??(S1?S2???SF?2F)? 其中S1?S2???SF?2E。是多面体所有F个面多边形的边数的总和.在这个总和中,多面体的每一条棱恰好被计算了两次(因为每一条棱都是相邻两个面的公共边).设多面体的棱数为E,于是有S1?S2???SF?2E。

因此得到???2(E?F)? (2)

即多面体的面角和由它的棱数和面数完全决定.注意,关系式(2)是经过证明得到的结论,而不是猜想.

欧拉综合了猜想(1)和事实(2)(从这两个式子中消去

因此(3)仍然是一个猜想,尚需要证明.

上述发现公式(3)的过程,基本上是按照欧拉关于这个问题的一篇论文叙述的.欧拉在 这篇论文中没有给出公式的证明.在另一篇论文中,欧拉试图给出证明,但证明中有一个很 大的漏洞.

下面介绍波利亚的书中给出的与前面的讨论很接近的一个证明.

注意到,将一个多面体连续地变形(例如使多面体变得更倾斜)时,多面体各面的交线(即棱)和各面的交点(即顶点)的位置也会连续地变化,但多面体的总体结构,即多面体的面、棱??)得到V-E+F=2 （3)

和顶点之间的相互关系不会改变,于是面数F,棱数E及顶点数F也不会改变.虽然各个面角可能会改变,但前面已经证明???2?(E?F),即面角和??是不会改变的.下面将多面

??(我们对一般情形的多面体来证明,但我们体连续地变形到一个非常极端的情形来计算

心中可以具体想着一个立方体).

以多面体的一个面为底,将其适当扩大,扩大到使其余F一1个面向底面的正投影全都落在该底面内,然后将该多面体垂直压向底面.于是多面体被“压平”为两个重叠在一起的多边形.上下两块的外轮廓线互相重合.下面一块是整块(即底面),上面一块分成F-1个多边形,每个小多边形都是原来多面体的一个面.例如以立方体的一个面ABCD为底面,压平后的图形如图10.

现在来计算压平后的多面体的面角和 ??.设上下两块共同的轮廓线的边数为m.于是下面一块(底面多边形)的直角和为(m?2)?.上面一块的面角和分为两部分,在边上m个顶点处的面角和为(m?2)?,在内部(V一m)个顶点处的面角和为(V?m)2?.于是

???(m?2)??(m?2)??(V?m)2??2V??4?

这就证明了前面的猜想(1).再由前面已经得到的

V-E+F=2.

1811年,法国数学家柯西利用不变量的思想,重新给出了这个公式的证明。

第一个欧拉公式的严格证明，由20岁的法国科学家柯西给出，大致如下: 从多面体去掉一面，通过把去掉的面的边互相拉远，把所有剩下的面变成点和曲线的平面网络。不失一般性，可以假设变形的边继续保持为直线段。正常的面不再是正常的多边形即使开始的时候它们是正常的。但是，点，边和面的个数保持不变，和给定多面体的一样(移去的面对应网络的外部。) ???2?(E?F),也就证明了猜想(3)

篇四：正多面体

M27-01d□ 正多面体

正多面体，或称柏拉图立体， 指各面都是全等的正多边形且每一个顶点所接的面数都是一样的凸多面体。因此对于每两个顶点来说都有一个等距的映射将其中一点映射到另一点。 命名由来

正多面体的别称柏拉图立体是因柏拉图而命名的。柏拉图的朋友特埃特图斯告诉柏拉图这些立体，柏拉图便将这些立体写在《提玛友斯》内。正多面体的作法收录《几何原本》的第13卷。在命题13描述正四面体的作法，命题14就是正八面体，命题15为立方体，命题16是正二十面体，命题17是正十二面体。

判断依据

判断正多面体的依据有三条：

（1）正多面体的面由正多边形构成

（2）正多面体的各个顶角相等

（3）正多面体的各条棱长都相等

这三个条件都必须同时满足，否则就不是正多面体，比如五角十二面体，虽然和正十二面体一样是由十二个五角形围成的，但是由于它的各个顶角并不相等因此不是正多面体。

正多边形都是轴对称图形，正偶数边形既是轴对称图形又是中心对称图形

如果 n 是偶数，则这些轴线中有一半经过相对的顶点，另外一半经过相对边的中点。如果 n 是奇数，则所有的轴线都是经过一个顶点以及其相对边的中心。例如：正多边形的周长与它的外接圆的直径的比值，与直径长短无关。古代数学家正是利用这一性质，逐次倍增正多边形的边数，使正多边形的周长趋近它的外接圆的周长，从而求得了圆周率的近似值。

M27-02d□ 柏拉图体

正四面体：表面积、体积、二面角角度、外接球半径、内接球半径

边长为立方体边长的√2，其体积为立方体体积的1/3

立方体：同上

当正八面体在立方体之内，正八面体体积:立方体体积=1:6

正八面体、正十二面体、正二十面体：同上

M27-03t□ 阿基米德体（半正多面体）

半正多面体是使用两种或以上的正多边形为面的凸多面体。半正多面体的每个顶点的情况相同，共有13种。阿基米德曾研究半正多面体（虽然其研究纪录已佚），故有人将半正多面体唤作阿基米德立体。因为面是由正多边形组成的，每个相邻的正多边形的边长相等，故半正多面体的边均有相同长度。

三六六式多面体 8面

三八八式多面体 14面

四六六式多面体 14面

三四三四式多面体 14面

四六八式多面体 26面

三四四四式多面体 26面

三五三五式多面体 32面

五六六式多面体 32面

三十十式多面体32面

三三三三四式多面体 38面

三四五四式多面体 62面

四六十式多面体 62面

三三三三五式多面体 92面

M27-04t□ 对偶多面体

连结任何正多面体的相邻两面的中心，就形成对偶多面体。非常巧的是，除正四面体的对偶体仍为正四面体外，正方体与正八面体互为对偶体，正十二面体与正二十面体也互为对偶体。

M27-05d□ 卡塔朗体

卡塔朗立体是对偶的半正多面体，都是凸多面体。1865年比利时数学家欧仁·查理·卡塔朗最先描述它们。因为其对偶多面体半正多面体点匀称而面不匀称，卡塔朗立体，面匀称而点不匀称。只有两个边匀称的卡塔朗立体：菱形十二面体和菱形三十面体。目前共计有13种卡塔兰立体，其对偶多面体均为半正多面体(阿基米德立体)。

M27-06t□ 会徽上的失误

美国数学会是一个拥有两万多名会员的组织（学术团体），在世界上影响较大。

1924年美数学会会刊《美国数学月刊》创立，创刊号上刊登了美国数学会会徽，这是一个以正20面体为主旨的图案，几十年来人们对它的权威性从未怀疑过。

上个世纪80年代初，美国华盛顿大学的布兰高·格林鲍华从当时民主德国的一枚邮票上，发现票面图案中的正20面体图案有误：正20面体原本有一个基本特点：同一个平面内的棱或交于一点或彼此平行，但邮票上的图案不是那样。

格氏立刻想到美数学会会徽上的图案，看后他不禁惊呆了，数学会的会徽上的图案，竟然绘错了，更令人不解的是：它竟然错了五十多年而无人发现。

当他将问题指出后，美数学会终于将会徽图案作了修正。一个错了近60年的象征美国数学会的会徽终于得以改正。

M27-07d□ 多面体的欧拉公式

欧拉

欧拉1707年4月15日出生于瑞士，在那里受教育。他一生大部分时间在俄罗斯帝国和普鲁士度过。欧拉是一位数学神童。他作为数学教授，先后任教于圣彼得堡和柏林，尔后再返圣彼得堡。欧拉是有史以来最多遗产的数学家，他的全集共计75卷。欧拉实际上支配了18世纪的数学，对于当时的新发明微积分，他推导出了很多结果。在他生命的最后7年中，欧拉的双目完全失明，尽管如此，他还是以惊人的速度产出了生平一半的著作。 欧拉公式的发现

1750年一个阴雨连绵的日子，数学家欧拉（Euler,L.）坐在桌前，摊开书本，拿起纸、笔又在演算数学问题——这是一道涉及长方体的立体几何题目。演算完毕，他漫不经心地看着所画图形且计算着该长方体中顶点数8、面数6和棱数12间的关系。

思来算去他发现：8+6-12=2.随后眼睛一亮：这也许正是这类几何体的共性？ 接着欧拉又从去角立方体和三棱锥中发现：

顶点数+面数-棱数=4+4-6=2。

他又找来几个（凸的）几何体一一计算后发现，对（凸）多面体而言：

顶点数（V）+面数（F）-棱数（E）=2，即V+F-E=2.

随即他便将此发现写信告诉另一位数学家哥德巴赫（Goldbach,C.），信中流露出他发现此公式时的惊喜。

不久（1751年）欧拉严格证明了上述公式——人称它为欧拉公式。数学界将V+F-E=2称为欧拉示性数。

用欧拉公式证明正多面体只有5种

证明：对于正多面体，假设它的各面都是正n边形，而且每一个顶角处有r个边相遇。这样就有：

nF=2E (1)

rV=2E (2)

(1)的右边系数2是因为每边出现在2面中，（2）的右边系数2是因为每边通过2个顶角。把（1）和（2）代入欧拉公式中，就得到：

或

（3）

显然n≥3，r≥3，因为多边形至少有三边，而在每顶角处也至少有三边。但n＞3，且r＞3又是不可能的，因为那样就要有

于3。 ，可是E＞0。所以r和n中至少有一个等

设n=3，那末 ，因此r=3,4,5,由是E=6，12，30，而F=4，8，20，这就给出了正四面体，正八面体和正二十面体。

设r=3，那末 ，因此n=3,4,5，由是E=6，12，30，而F=4，6，12，这就给出了正四面体，正六面体（即立方体）和正十二面体。

欧拉公式的拓展延伸

事实上，任何中间没有“孔”的多面体（即拓扑等价于球体的多面体都适用于这一公式。这种关系称为欧拉公式，它在更高的维度中的泛化在拓扑学中也比较重要。

这个公式也适用于平面上的地图，假设我们将超出地图的无穷区域看作额外的面，或者忽略这个“面”并用等式F-E+V=1代替公式，此等式与上面的公式其实是一样的，只不过这样更直观一些。我们将这个表达式称为“欧拉的地图公式”。

M27-08t□ 凹的均匀多面体

柏拉图体、阿基米德体、卡塔朗体等都是凸的均匀多面体，另外还有一些凹的均匀多面体，这里列举两例。

篇五：正多面体的有关历史

正多面体的有关历史

早期的毕达哥拉斯学派学者注意到用等边三角形和正方形为表面可构成四种规则的立体，即正四面体、正六面体、正八面体和正二十面体(如图6-1)，它们的各个面和多面角都全等．后来又发现了第五种正多面体，即由12个正五边形组成的正十二面体(图6-1)．柏拉图学派进一步研究五种正多面体的几何性质和数量关系，他们把正多面体与当时流行的四大元素火、土、气、水对应起来，正十二面体没有对应的元素，就让它代表了一种叫“以太”的虚构物质．柏拉图学派的泰阿泰德(Theatetus，约公元前415—前369)证明了只有五种正多面体，这个事实蕴含着现代数学中的一个重要观念——群论的萌芽．

德国天文学家开普勒在早期的工作中深受柏拉图的影响，企图把五个正多面体之间的包容关系与五大行星(金、木、水、火、土)的位置联系起来．这一假设是错误的，但却导致了他后来对行星运行规律的发现．近代德国大数学家F．克莱因写了一篇关于正二十面体的论文，把几何、代数、群论和函数论熔于一炉来讨论这一古老课题．

正六面体就是我们十分熟悉的正方体．正四面体和正八面体在自然界中就存在．如硫酸钠晶体为正四面体，铬钒晶体为正八面体．如图6-2所示．正十二面体和正二十面体在自然界中比较罕见．有趣的是，生活在海洋中的一种体形对称的微小生物放射虫，它们中的有些体形就是正十二面体和正二十面体，如图6-3．

正多面体具有多种对称性．其中正六面体即正方体的对称性在我们的学习过程中经常用到．它有一个对称中心，十三条对称轴，九个对称平面．每个正多面体都有外接球和内切球．

在我国，最早介绍五种正多面体的是意大利传教士罗雅各(J．Rho，1593—1638)，在1631年完成的《测量法义》和《比例规解》两书之中有记载．清初数学家梅文鼎根据罗雅谷书中提供的线索，在《几何补编》中详尽地研究了正多面体的性质，并订正了《比例规解》中关于正二十面体体积计算的错误．

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