若关于x的方程4^x+a·2^x+a+1=0有实数解,求实数a的取值范围
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/09/03 03:14:07
若关于x的方程4^x+a·2^x+a+1=0有实数解,求实数a的取值范围
若关于x的方程4^x+a·2^x+a+1=0有实数解,求实数a的取值范围
若关于x的方程4^x+a·2^x+a+1=0有实数解,求实数a的取值范围
令2^x=k 有实数解所以 k>0
则原式=k^2+ak+a+1=0
判别式=a^2-4a -4》0
a》2+2√2 或者a《2-2√2
k=(-a±√(a^2-4a -4))/2>0
-a±√(a^2-4a -4)>0
a0恒成立
-a-√(a^2-4a -4)>0
有a^2>a^2-4a -4
a>-1
-10 恒不成立
-a+√(a^2-4a -4)>0
a^2-4a -4>a^2
a
原式可化为 (2^x)^2+a·2^x+a^2/4=a^2/4-a-1
即就是 (2^x+a/2)^2=a^2/4-a-1
所以要原方程有实数解,则a^2/4-a-1>=0
然后自己解方程就ok啦
4^x+a·2^x+a+1=0
即(2^x)^2+a2^x+a+1=0
设t=2^x∈(0,+∞)
则上式化为t^2+at+a+1=0
因为t=2^x∈(0,+∞)
所以需要让t^2+at+a+1=0在(0,+∞)有解。
设f(t)=t^2+at+a+1
则其与x轴在(0,+∞)有交点的充要条件是
△≥0
f(0)>0
全部展开
4^x+a·2^x+a+1=0
即(2^x)^2+a2^x+a+1=0
设t=2^x∈(0,+∞)
则上式化为t^2+at+a+1=0
因为t=2^x∈(0,+∞)
所以需要让t^2+at+a+1=0在(0,+∞)有解。
设f(t)=t^2+at+a+1
则其与x轴在(0,+∞)有交点的充要条件是
△≥0
f(0)>0
-a/2>0
或f(0)<0
-a/2<0
分别解之得a∈(-1,2-2√2]
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