设a>0,函数f(x)=(ax+b)/(x^2+1),b为常数.(1)证明：函数f(x)的极大值点和极小值点各有一个；（2）若函数f(x)的极大值为1,极小值为-1,试求a值.

设a>0,函数f(x)=(ax+b)/(x^2+1),b为常数.(1)证明：函数f(x)的极大值点和极小值点各有一个；（2）若函数f(x)的极大值为1,极小值为-1,试求a值.
设a>0,函数f(x)=(ax+b)/(x^2+1),b为常数.(1)证明：函数f(x)的极大值点和极小值点各有一个；（2）若函数f(x)的极大值为1,极小值为-1,试求a值.

设a>0,函数f(x)=(ax+b)/(x^2+1),b为常数.(1)证明：函数f(x)的极大值点和极小值点各有一个；（2）若函数f(x)的极大值为1,极小值为-1,试求a值.

（1）证明如下：
对f(x)=(ax+b)/(x^2+1)求导,
f'(x)=[a*(x^2+1)-(ax+b)*2x]/(x^2+1)
=-a(x^2+2b/a*x-1)/(x^2+1)^2,\x09\x09①
因为a>0,f'(x)的符号仅由x^2+2b/a*x-1的符号决定（与之相反）.
令f'(x)=0得：-a(x^2+2b/a*x-1)/(x^2+1)^2=0,
即,a(x^2+2b/a*x-1)=0,
x^2+2b/a*x-1=0,\x09\x09\x09\x09\x09②
该二次方程的判别式Δ=4(b/a)^2+4>0（恒为正）,故必有两个实根.即二次函数x^2+2b/a*x-1必有两个零点,且在两个零点附近,该二次函数变号,且由二次函数的图像易知,两个零点附近符号变化相反（一个零点附件符号由正变负,另外一个零点附近符号符号由负变正）.故f'(x)有且仅有两个零点,两个零点附近符号变化相反,则f(x)在两个驻点处一个取极大值,一个取极小值.

（2）设方程②的解为：x1, x2, 且x1 (如果解方程②可得：x1=[-b-√(b^2+a^2)]/a,x2=[-b+√(b^2+a^2)]/a,但其实不需要解该方程,否则代入f(x1)=-1, f(x2)=1后计算会非常复杂.)
根据前面的分析,在x1附近,f'(x)由负变正,应取极小值；在x2附近,f'(x)由正变负,应取极大值.
令f(x1)=-1, 得(a*x1+b)/(x1^2+1)=-1,
(a*x1+b)+(x1^2+1)=0,
由于x1满足方程②,故x1^2=1-2b/a*x1,代入上式得：
a*x1+b+2-2b/a*x1=0, b+2=2b/a*x1-a*x1,
故x1=a(b+2)/(2b-a^2).\x09\x09\x09③

令f(x2)=1得,(a*x2+b)/(x2^2+1)=1,
(a*x2+b)-(x1^2+1)=0,
由于x2满足方程②,故x2^2=1-2b/a*x2,代入上式得：
a*x2+b-2+2b/a*x2=0, a*x2+2b/a*x2=2-b,
故x2=a(2-b)/(2b+a^2).\x09\x09\x09④
对方程②,由韦达定理,
x1+x2=-2b/a,
x1*x2=-1
把代入以上两式得：
2ab(a^2+4)/(a^4-4*b^2)=-2b/a, \x09\x09⑤
a^2*(4-b^2)/(4b^2-a^4)=-1,\x09\x09⑥
⑤化简为：
2b*a^2*(a^2+4)+2b(a^4-4*b^2)=0,
4b[a^4+2*a^2-2*b^2]=0,
b[a^4+2*a^2-2*b^2]=0,\x09\x09\x09⑦

⑥化简为：a^2*(4-b^2)+(4b^2-a^4)=0,
4a^2-a^2*b^2+4b^2-a^4=0,
(4a^2+4b^2)-(a^2*b^2+a^4)=0,
4(a^2+b^2)-a^2(b^2+a^2)=0,
(4-a^2)(b^2+a^2)=0,\x09\x09\x09⑧
又已知,a>0,故b^2+a^2≠0,则4-a^2=0,a=2（a>0）
把a=2代入⑦得：b[16+8-2*b^2]=0,\x09\x09\x09⑦
所以b=0或±2√3.

由于方程⑤⑥并非方程③④的充要条件,故还需代入验证.
当a=2,b=0时,由③④,x1=-1,x2=1,f(x1)=-1,f(x2)=1,符合要求；
当a=2,b=2√3时,由③④,x1=(√3+1)^2/2,x2=-(√3-1)^2/2,与假设x1 当a=2,b=-2√3时,由③④,x1=(√3-1)^2/2,x2=-(√3+1)^2/2,与假设x1
综上a=2,b=0即为所求.

先求导，令导函数为0，若该方程有不同的实根，则说明问1成立
由2知 1和-1为方程的根 可将一问中方程写为 （X-1）（X+1）=0 可得A=1