在120º的二面角的棱上有A,B两点,AC,BD分别是α与β内垂直于AB的线段,已知AB=2,AC=3,BD=4,求CD

在120º的二面角的棱上有A,B两点,AC,BD分别是α与β内垂直于AB的线段,已知AB=2,AC=3,BD=4,求CD
在120º的二面角的棱上有A,B两点,AC,BD分别是α与β内垂直于AB的线段,已知AB=2,AC=3,BD=4,求CD

在120º的二面角的棱上有A,B两点,AC,BD分别是α与β内垂直于AB的线段,已知AB=2,AC=3,BD=4,求CD
在平面α内作BE⊥AB,且取线段BE=AC,连结CE、DE
因为BD⊥AB,BD在平面β内,所以可知：
∠DBE就是二面角C-AB-D的平面角
那么：∠DBE=120°,且有AB⊥平面BDE
因为AC⊥AB,BE⊥AB,BE、AC在平面α内,
所以：AC//BE
又BE=AC,所以：四边形ABEC是平行四边形
那么：AB//CE,CE=AB=2
所以：CE⊥平面BDE
那么：CE⊥DE
在△BDE中,BD=4,BE=AC=3,∠DBE=120°
由余弦定理有：DE²=BD²+BE²-2BD*BE*cos120°
=16+9-2*4*3*(-1/2)
=37
则在Rt△CDE中,由勾股定理有：
CD=根号(DE²+CE²)=根号(37+4)=根号41