凸四边形ABCD中,M为AB中点,MC=MD,分别过CD两点作边BC,AD的垂线,交于P,过P作PQ垂直于AB于Q,证角PAD=角PBC

凸四边形ABCD中,M为AB中点,MC=MD,分别过CD两点作边BC,AD的垂线,交于P,过P作PQ垂直于AB于Q,证角PAD=角PBC
凸四边形ABCD中,M为AB中点,MC=MD,分别过CD两点作边BC,AD的垂线,交于P,过P作PQ垂直于AB于Q,证角PAD=角PBC

凸四边形ABCD中,M为AB中点,MC=MD,分别过CD两点作边BC,AD的垂线,交于P,过P作PQ垂直于AB于Q,证角PAD=角PBC
分析：用中位线定理证明,MF= 1/2BP=BE,ME= 1/2AP=DF,进而证明△MDF≌△CME,并根据平行四边形对角相等求证．
证明：如图：取AP,BP的中点分别为F,E；并连接DF,MF,EC,ME；
可以证明：MF= 1/2BP=PE,ME= 1/2AP=PF,
∴四边形MFPE为平行四边形
∴∠MFP=∠MEP,
∵PD⊥AD,PC⊥BC,
∴∠ADP=∠BCP=90°,
∴在Rt△APD与Rt△BPC中,
DF=AF=PF= 1/2PA,CE=BE=PE= 1/2BP,
∴DF=EM=PF,FM=PE=CE,
∵MC=MD,
∴△MDF≌△CME（SSS）,
∴∠DFM=∠MEC,
∴∠DFP=∠CEP,
∴FA=FD,CE=BE,
∴∠FAD=∠ADF,∠CEB=∠CBE,
∴∠DFP=2∠PAD,∠CEP=2∠PBC
∴∠PAD=∠PBC．