作业帮【(sinx)^2-x^2cosx^2】/(sinx)^4中x趋向于0时的极限
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/05 21:41:16
【(sinx)^2-x^2cosx^2】/(sinx)^4中x趋向于0时的极限
【(sinx)^2-x^2cosx^2】/(sinx)^4中x趋向于0时的极限
【(sinx)^2-x^2cosx^2】/(sinx)^4中x趋向于0时的极限
lim(x→0) [(sinx)^2-x^2(cosx)^2]/(sinx)^4
(sinx)^2 =(1-cos2x)/2 x^2(cosx)^2=x^2(1+cos2x)/2
=2 lim(x→0) [(1-cos2x)-x^2(1+cos2x)]/(1-cos2x)^2
=2lim(x→0)(1-x^2-x^2cos2x-cos2x)'/(1-2cos2x+(cos2x)^2)'
=2lim(x→0)(-2x-2xcos2x+2x^2sin2x+2sin2x)/(4sin2x-4sin2xcos2x)
=lim(x→0)(-x-xcos2x+x^2sin2x+sin2x)' /(sin2x-sin2xcos2x)'
=lim(x→0)(-1-cos2x+4xsin2x+2x^2cos2x+2cos2x)'/(2cos2x-2cos4x)'
=lim(x→0)(6sin2x+12xcos2x-4x^2sin2x-4sin2x)'/(4sin2x+8sin4x)'
=lim(x→0)(24cos2x-32xsin2x-8x^2cos2x-8cos2x)' / (8co2x+32cos4x)'
=(24-8)/(8+32)=16/40=2/5
∵分子=(sinx+xcosx)(sinx-xcosx)
分母=（sin²x)(sin²x)
∴原式=[(sinx+xcosx)/sin²x][(sinx-xcosx)/sin²x]
即此时把原式化为两个极限来求。
先看(sinx+xcosx)/sin²x的极限
易知，当x--->0时，该式为0/0型，...
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∵分子=(sinx+xcosx)(sinx-xcosx)
分母=（sin²x)(sin²x)
∴原式=[(sinx+xcosx)/sin²x][(sinx-xcosx)/sin²x]
即此时把原式化为两个极限来求。
先看(sinx+xcosx)/sin²x的极限
易知，当x--->0时，该式为0/0型，
由洛比达法则，以下式子的极限相等
(sinx+xcosx)/sin²x
=((2cosx-xsinx)/(2sinxcosx)
=(1/sinx)-[x/(2cosx)]
显然，当x--->0时，
1/sinx---->∞, x/(2cosx)--->0
∴原极限=∞。
同理，式子(sinx-xcosx)/sin²x
=(cosx-cosx+xsinx)/(2sinxcosx)
=x/(2cosx)---->0
∴原极限为∞
收起
罗比达或者泰勒，具体结果自己去算。不过别忘了分母首先进行x等价，以简化计算