积分(2x-3)/(2x²+x+1)dx

积分(2x-3)/(2x²+x+1)dx
积分(2x-3)/(2x²+x+1)dx

积分(2x-3)/(2x²+x+1)dx
先观察,发现分子是一次多项式,分母是两次
猜测分子会不会是分母的导数,是的就直接搞定了,不是也可以分出去一部分
分母求导=4x+1
所以分子=2x-3=(1/2)(4x+1)-7/2
即原积分
=(1/2)∫ (4x+1)dx/(2x²+x+1)-(7/2)∫ dx/(2x²+x+1)
=(1/2)∫ d(2x^2+x+1)/(2x^2+x+1)-(7/2)∫ dx/[2(x+1/4)^2+7/8]
第一个公式直接,第二个分母提出个2来,分子变dx=d(x+1/4)
=(1/2)ln|2x^2+x+1|-(7/4)∫d(x+1/4)/[(x+1/4)^2+7/16]
用公式∫dx/(x^2+a^2)=(1/a)arctan(x/a)+C,且2x^2+x+1恒>0
=(1/2)ln(2x^2+x+1)-(7/4)*(1/(√7/4))arctan((x+1/4)/(√7/4))+C
=(1/2)ln(2x^2+x+1)-√7arctan[(4x+1)/√7]+C

∫(2x-3)/(2x²+x+1)dx
=∫(2x+1/2-7/2)/(2x²+x+1)dx
=∫（2x+1/2）/(2x²+x+1)dx -7/2∫1/(2x²+x+1)dx
=1/2∫1/(2x²+x+1)d(2x²+x+1)-7/4∫1/(x²+1/2x+1/2) dx
=1/2ln(...

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∫(2x-3)/(2x²+x+1)dx
=∫(2x+1/2-7/2)/(2x²+x+1)dx
=∫（2x+1/2）/(2x²+x+1)dx -7/2∫1/(2x²+x+1)dx
=1/2∫1/(2x²+x+1)d(2x²+x+1)-7/4∫1/(x²+1/2x+1/2) dx
=1/2ln(2x²+x+1)-7/4∫1/[(x+1/16)²+127/256]dx
=1/2ln(2x²+x+1)-7/4*1/√(127/256)arctan(x+1/16)/√(127/256)+c
=1/2ln(2x²+x+1)-28/√(127)arctan[(16x+1)/√(127)]+c

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