已知a,b,c是三角形的三边,且满足(a+b+c)的平方=3(a的平方+b的平方+c的平方)求证这个三角形是等边三角形

已知a,b,c是三角形的三边,且满足(a+b+c)的平方=3(a的平方+b的平方+c的平方)求证这个三角形是等边三角形
已知a,b,c是三角形的三边,且满足
(a+b+c)的平方=3(a的平方+b的平方+c的平方)
求证这个三角形是等边三角形

已知a,b,c是三角形的三边,且满足(a+b+c)的平方=3(a的平方+b的平方+c的平方)求证这个三角形是等边三角形
展开
得到：2ab+2bc+2ac=2a^2+2b^2+2c^2
移项得到：(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2=0
得到：a=b,b=c,c=a

(a+b+c)^2=(1+1+1)(a^2+b^2+c^2)>=(a+b+c)^2(柯西不等式，没教过的话，用基本不等式也能证明）
由等号成立条件可知，a=b=c，故
这个三角形是等边三角形

(a+b+c)的平方=a的平方+b的平方+c的平方+3ab+3bc+3ac,则，把左侧移到右侧，有2*a的平方+2*b的平方+2*c的平方-2ab-2bc-2ac=0
故（a-b）的平方+(a-c )的平方+(b-c )的平方=0
所以a=b=c

已知展开得
a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=3a^2+3b^2+3c^2
2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0
(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)=0
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0
以上三个平方式都大于或等于0，要使上式成立，只能是：
(a-b)...

全部展开

已知展开得
a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=3a^2+3b^2+3c^2
2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0
(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)=0
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0
以上三个平方式都大于或等于0，要使上式成立，只能是：
(a-b)^2=0，得a=b；
(b-c)^2=0，得b=c；
(c-a)^2=0，得c=a。
所以a=b=c，三角形是等边三角形。

收起

直接整理就行了：
(a+b+c)^2=3(a^2+b^2+c^2)
去括号：
a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=3a^2+3b^2+3c^2
移项：
2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2ac+2bc
两边同除以2：
a^2+b^2+c^2=ab+ac+bc
移项、整理：
a(a-b)+b(b-c)+c(c-a...

全部展开

直接整理就行了：
(a+b+c)^2=3(a^2+b^2+c^2)
去括号：
a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=3a^2+3b^2+3c^2
移项：
2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2ac+2bc
两边同除以2：
a^2+b^2+c^2=ab+ac+bc
移项、整理：
a(a-b)+b(b-c)+c(c-a)=0
从而推得：a=b b=c c=a
所以：此三角形是等边三角形

收起

a的平方+B的平方+C的平方+2AB+2AC+ABC=3A的平方+B的平方+C的平方
所以 2a的平方+2b的平方+2c的平方- 2ab-2bc-2ac=0
(a-b)的平方+(a-c)的平方+(b-c)的平方=0
所以 A=B=C=0
所以为等边

a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=3a^2+3b^2+3c^2
2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0
(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)=0
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0
以上三个平方式都大于或等于0，要使上式成立，只能是：
(a-b)^2=0，...

全部展开

a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=3a^2+3b^2+3c^2
2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0
(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)=0
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0
以上三个平方式都大于或等于0，要使上式成立，只能是：
(a-b)^2=0，得a=b；
(b-c)^2=0，得b=c；
(c-a)^2=0，得c=a。
所以a=b=c，三角形是等边三角形。

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