求教两道数分题1.用N(k)表示不超过2^N的所有的自然数中以K为首位的数字的个数,求证lim(N->+∞)N(7)/N(8)存在.2.设数列{x(n)}满足,对于任意n,m属于N有0≤x(n+m)

求教两道数分题1.用N(k)表示不超过2^N的所有的自然数中以K为首位的数字的个数,求证lim(N->+∞)N(7)/N(8)存在.2.设数列{x(n)}满足,对于任意n,m属于N有0≤x(n+m)
求教两道数分题
1.用N(k)表示不超过2^N的所有的自然数中以K为首位的数字的个数,
求证lim(N->+∞)N(7)/N(8)存在.
2.设数列{x(n)}满足,对于任意n,m属于N有0≤x(n+m)

求教两道数分题1.用N(k)表示不超过2^N的所有的自然数中以K为首位的数字的个数,求证lim(N->+∞)N(7)/N(8)存在.2.设数列{x(n)}满足,对于任意n,m属于N有0≤x(n+m)
第一题的极限应该是不存在的.
（以下“数”指自然数）
当2^N的首位不为7也不为8时,显然有N(7)=N(8),此时N(7)/N(8)=1.在N足够大时,N>N',也会存在N,使得2^N的首位不为7也不为8.所以,如果lim(N->+∞)N(7)/N(8)存在,那么必然有lim(N->+∞)N(7)/N(8)=1.
当2^N的首位为7或8时,设2^N的位数为m,位数小于m的数中,以7为首位的数字的个数,与以8为首位的数字的个数相同,而不超过2^N,位数为m的自然数中,以7为首位的数字的个数,多于以8为首位的数字的个数（若2^N=899...999,个数也相同,但是这种情况并不存在）,所以此时N(7)>N(8).位数小于m的数中,以7（或8）为首位的数字的个数为(10^(m-1)-1)/9；位数为m的数中,以7（或8）为首位的数字的个数为10^(m-1),比之前个数的9倍要多.若2^N=7999...999,则N(7)/N(8)>10.（这种情况也不可能出现,只作为假设）
当2^N的首位为7时,第二位若不为0,则N(7)/N(8)>2.这种情况在N足够大时,也会出现,所以im(N->+∞)N(7)/N(8)不存在.
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第二题,从单调有界的思路入手
0≤x(n)/nx(n)/n<(x(n-1)+x(1))/n所以数列单调递减,又因为数列有界,所以极限存在

证明单调有界即可