设数列 an 的前n项和为sn 并且满足2Sn=an^2+n,an>0(n为正整数）.（1）求a1,a2,a3（2）猜想an的通项公式,并予以证明（3）设x>0,y>0,且x+y=1,证明根号下（anx+1）+根号下（any+1)小于或等于根号下（2（n+2）

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/11/15 11:30:38

设数列 an 的前n项和为sn 并且满足2Sn=an^2+n,an>0(n为正整数）.（1）求a1,a2,a3（2）猜想an的通项公式,并予以证明（3）设x>0,y>0,且x+y=1,证明根号下（anx+1）+根号下（any+1)小于或等于根号下（2（n+2）
设数列 an 的前n项和为sn 并且满足2Sn=an^2+n,an>0(n为正整数）.
（1）求a1,a2,a3
（2）猜想an的通项公式,并予以证明
（3）设x>0,y>0,且x+y=1,证明根号下（anx+1）+根号下（any+1)小于或等于根号下（2（n+2））

设数列 an 的前n项和为sn 并且满足2Sn=an^2+n,an>0(n为正整数）.（1）求a1,a2,a3（2）猜想an的通项公式,并予以证明（3）设x>0,y>0,且x+y=1,证明根号下（anx+1）+根号下（any+1)小于或等于根号下（2（n+2）
根据2Sn=an^2+n
得到2a1=a1^2+1
求得a1=1或a1=-1
又因为 an>0 所以a1=1
同理求得a2=2 a3=3
（2）猜想an=n
证明：因为 2Sn=an^2+n ……①
那么 2Sn-1=an-1^2+n-1 ……②
①-②得 2an=an^2-an-1^2+1
即（an-1）^2=an-1^2
因为an>0 两边同时开方得到：
an -1 = an-1
即 an - an-1 =1
故数列{an}为首项为1,公差为1的等差数列
那么an=1+（n-1）*1=n
证毕
（3）第三个题题意不明啊

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(1)
∵2S[n]=a[n]^2+n
∴2a[1]=a[1]^2+1
即：(a[1]-1)^2=0
∴a[1]=1 【上面是个完全平方式，是两个相同的根，不是两个相反的根】
∵2S[2]=a[2]^2+2
∴2(a[1]+a[2])=a[2]^2+2
即：a[2](a[2]-2)=0
∴a[2]=2 或者 a[2]=0
∵a[n]>0
∴a[2]=2
∵2S[3]=a[3]^2+3
∴2(a[1]+a[2]+a[3])=a[3]^2+3
即：a[3]^2-2a[3]-3
(a[3]-3)(a[3]+1)=0
同理：a[3]=3
(2)猜想：a[n]=n
证明：
∵2S[n]=a[n]^2+n
∴2S[n+1]=a[n+1]^2+(n+1)
将上面两式相减，得：2a[n+1]=a[n+1]^2-a[n]^2+1
即：(a[n+1]-1)^2=a[n]^2
∴a[n+1]-a[n]=1
∵a[1]=1
∴数列{a[n]}为首项和公差均为1的等差数列
即：a[n]=1+(n-1)=n
(3)证明：
∵x>0,y>0，且x+y=1
∴(nx+1)+(ny+1)=n(x+y)+2=n+2 【1】
由平均不等式和【1】式得：
2√{(nx+1)(ny+1)}≤=(nx+1)+(ny+1)=n+2
两边加上n+2:
(n+2)+2√{(nx+1)(ny+1)}≤=(n+2)+(n+2)
再由【1】式得：
(nx+1)+2√{(nx+1)(ny+1)}+(ny+1)≤=2(n+2)
即：{√(nx+1)+√(ny+1)}^2≤2(n+2)
由(1)知：a[n]=n，代入上式，并两边开平方，得：
√(a[n]x+1)+√(a[n]y+1)≤√{2(n+2)}

收起