已知m,n∈R,f(x)=xˆ2-mnx.证明不等式f(mˆ2)+f(nˆ2)>=0

已知m,n∈R,f(x)=xˆ2-mnx.证明不等式f(mˆ2)+f(nˆ2)>=0
已知m,n∈R,f(x)=xˆ2-mnx.证明不等式f(mˆ2)+f(nˆ2)>=0

已知m,n∈R,f(x)=xˆ2-mnx.证明不等式f(mˆ2)+f(nˆ2)>=0
由f(x)=xˆ2-mnx则有f(mˆ2）=m^4-mnm^2=m^4-m^3n f(n^2)=n^4-mnn^2=n^4-mn^3
f(mˆ2)+f(nˆ2)=m^4-m^3n +n^4-mn^3=m^3(m-n)+n^3(n-m)=(m-n)(m^3-n^3)=(m-n)(m-n)(m^2+mn+n^2)=(m-n)^2(m^2+mn+n^2) (m-n)^2>=0 (m^2+mn+n^2)>=0所以
f(mˆ2)+f(nˆ2)>=0

把mˆ2和 nˆ2代入到f(x)=xˆ2-mnx,则有f(mˆ2)+f(nˆ2)=m^3(m-n)+n^3(n-m)=m^3(m-n)-n^3(m-n).
提取公因式m-n,得到(m-n)(m^3-n^3)=(m-n)^2 (m^2+mn+n^2)=(m-n)^2 (m^2+mn+(n^2)/4+(3n^2)/4)=
(m-n)^2>0且m^2+mn+(n^2)/4+(3n^2)/4)>0 (m^2+mn+(n^2)/4>0)
所以...

即证
m^4-m^3n+n^4-mn^3>=0
m^3(m-n)+n^3(n-m)>=0
(m^3-n^3)(m-n)>=0
两者同号..显然成立