数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,a2=6,a3=11,且(5n-8)S(n+1)-(5n+2)Sn=An+b,n=1, 数列{an}的前n项和为Sn1)求A与B的值;(2)证明:数列{an}为等差数列;(3)证明:不等式根号5amn-根号aman>1对任何正整数m,n
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/29 01:50:56
数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,a2=6,a3=11,且(5n-8)S(n+1)-(5n+2)Sn=An+b,n=1, 数列{an}的前n项和为Sn1)求A与B的值;(2)证明:数列{an}为等差数列;(3)证明:不等式根号5amn-根号aman>1对任何正整数m,n
数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,a2=6,a3=11,且(5n-8)S(n+1)-(5n+2)Sn=An+b,n=1, 数列{an}的前n项和为Sn
1)求A与B的值;(2)证明:数列{an}为等差数列;(3)证明:不等式根号5amn-根号aman>1对任何正整数m,n都成立。 主要回答第三问
数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,a2=6,a3=11,且(5n-8)S(n+1)-(5n+2)Sn=An+b,n=1, 数列{an}的前n项和为Sn1)求A与B的值;(2)证明:数列{an}为等差数列;(3)证明:不等式根号5amn-根号aman>1对任何正整数m,n
由已知得:S1=1,S2=7,S3=18
令n=1,n=2,得:-3*7-7*1=A*1+B,2*18-12*7=2A+B
解得:A=-20,B=-8
(2)证明(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=-20n-8
则 (5n-3)Sn+2-(5n+7)Sn+1=-20n-28
两式相减,得:(5n-3)Sn+2-(10n-1)Sn+1+(5n+2)Sn=-20
(5n-3)Sn+2-(5n-3)Sn+1-(5n+2)Sn+1+(5n+2)Sn=-20
(5n-3)an+2-(5n+2)an+1=20
则 (5n+2)an+3-(5n+7)an+2=20
两式相减,得:(5n+2)an+3-(10n+4)an+2+(5n+2)an+1=0
an+3-2an+2+an+1=0
又已知a1=1,a2=6,a3=11,
综上,an+2-2an+1+an=0即2an+1=an+an+2
证得{an}为等差数列
(Ⅰ)由已知,得S1=a1=1,S2=a1+a2=7,S3=a1+a2+a3=18 由(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=An+B,知 -3S2-7S1=A+B2S3-12S2=2A+B ,即 A+B=-282A+B-48 解得A=-20,B=-8. (Ⅱ)由(Ⅰ)得(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=-20n-8① 所以(5n-3)Sn+2-(5n+7)Sn+1=-20n-28② ②-①得(5n-3)Sn+2-(10n-1)Sn+1+(5n+2)Sn=-20③ 所以(5n+2)Sn+3-(10n+9)Sn+2+(5n+7)Sn+1=-20④ ④-③得(5n+2)Sn+3-(15n+6)Sn+2+(15n+6)Sn+1-(5n+2)Sn=0. 因为an+1=Sn+1-Sn 所以(5n+2)an+3-(10n+4)an+2+(5n+7)an+1=0 因为(5n+2)≠0 所以an+3-2an+2+an+1=0 所以an+3-an+2=an+2-an+1,n≥1 又a3-a2=a2-a1=5 所以数列{an}为等差数列. (Ⅲ)由(Ⅱ)可知,an=1+5(n-1)=5n-4, 要证 5amn - aman >1 只要证5amn>1+aman+2 aman , 因为amn=5mn-4,aman=(5m-4)(5n-4)=25mn-20(m+n)+16, 故只要证5(5mn-4)>1+25mn-20(m+n)+16+2 aman , 即只要证20m+20n-37>2 aman , 因为2 aman ≤am+an=5m+5n-8<5m+5n-8+(15m+15n-29)=20m+20n-37 所以命题得证. 望采纳。