设各项了均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,且(S(n+1)+λ)an=(Sn+1)a(n+1)对一切n∈N^*都成立.①若λ=1求数列an的通项公式②求λ的值.使数列an是等差数列
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/09/03 04:29:01
设各项了均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,且(S(n+1)+λ)an=(Sn+1)a(n+1)对一切n∈N^*都成立.①若λ=1求数列an的通项公式②求λ的值.使数列an是等差数列
设各项了均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,且(S(n+1)+λ)an=(Sn+1)a(n+1)
对一切n∈N^*都成立.①若λ=1求数列an的通项公式②求λ的值.使数列an是等差数列
设各项了均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,且(S(n+1)+λ)an=(Sn+1)a(n+1)对一切n∈N^*都成立.①若λ=1求数列an的通项公式②求λ的值.使数列an是等差数列
(1)若λ=1,则(S(n+1)+λ)an=(Sn+1)a(n+1)两边除以ana(n+1)得
S(n+1)/a(n+1)+1/a(n+1)=Sn/an+1/an
∴Sn/an+1/an,是常数列.Sn/an+1/an=2
解得,Sn=2an-1,∴an=2^(n-1)
(2)a1=1,
n=1代入已知,得a2=1+λ
n=2代入已知,得a3=(1+λ)²
由an是等差数列.∴2a2=a1+a3,得λ=0
而当λ=0时,S(n+1)an=(Sn+1)a(n+1)两边除以ana(n+1)得,
S(n+1)/a(n+1)=Sn/an+1/an,
能满足an=1是等差数列.
所以λ=0.