已知椭圆M：x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)的离心率为2√2/3,且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为6+4√2,设直线l与椭圆交于A、B两点,且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C,求三角形ABC面积的

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/11/17 17:37:02

已知椭圆M：x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)的离心率为2√2/3,且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为6+4√2,设直线l与椭圆交于A、B两点,且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C,求三角形ABC面积的
已知椭圆M：x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)的离心率为2√2/3,
且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为6+4√2,设直线l与椭圆交于A、B两点,且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C,求三角形ABC面积的最大值

已知椭圆M：x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)的离心率为2√2/3,且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为6+4√2,设直线l与椭圆交于A、B两点,且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C,求三角形ABC面积的
的此题分两步解决：
第一步先求出椭圆方程：设椭圆半焦距为c
则由题目条件知2a+2c=6+4√2(1) e=c/a=2√2/3 (2)
(1)(2)联立解得a=3 c=2√2 所以b=1
所以椭圆方程为：x^2/9+y^2=1
第二步利用参数方程法：先有题设的右顶点C（3,0）（因为a=3所以右顶点横坐标3）
设过C点的直线L1倾斜角为 α ,此直线与椭圆交于A点,
那么过C点倾斜角为 90+α 的直线L2交椭圆则为B点,
如此以AB为直径的园正好过C点且符合题意
过C点的L1参数方程：x=3+tcosα
y=tsinα
两式代入椭圆方程得：(（cosα）^2+9(sinα)^2)t^2+6tcosα=0（3）
因为直线过C点所以（3）式有一解为0
另一解为│t1│=│CA│=│-6cosα/(（cosα）^2+9(sinα)^2)│（4）
过C点的L2参数方程：x=3+tcos(90+α)=3-tsinα
y=tsin(90+α)=tcosα
同上L1代入（实际只需将最后结果(90+α)去代替（4）中的α即可）
得│t2│=│CB│=│6sinα/(（sinα）^2+9(cosα)^2)│ (5)
三角形ABC面积=1/2×│CA││CB│
=1/2×│-6cosα/(（cosα）^2+9(sinα)^2)││6sinα/(（sinα）^2+9(cosα)^2)│
=9│2sinαcosα/(9+64(sinα)^2)（cosα）^2))│
=9│sin2α/(9+16(sin2α)^2))│
=9/16×│1/[9/(16sin2α)+(sin2α)]│ （6）
注意：对于 │ 9/(16sin2α)+(sin2α) │ 为打勾函数因为 sin2α∈ [-1,1] 所以有最小值
当 sin2α=3/4时最小为 3/2 即 │1/[9/(16sin2α)+(sin2α)]│最大=2/3 代入（6）
三角形ABC面积最大= 9/16×2/3 = 3/8

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