设f(x)在[0,2a]上连续,且f(0)=f(2a),证明:存在&属于[0,a],使得f(&)=f(&+a)
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/09/03 18:03:39
设f(x)在[0,2a]上连续,且f(0)=f(2a),证明:存在&属于[0,a],使得f(&)=f(&+a)
设f(x)在[0,2a]上连续,且f(0)=f(2a),证明:存在&属于[0,a],使得f(&)=f(&+a)
设f(x)在[0,2a]上连续,且f(0)=f(2a),证明:存在&属于[0,a],使得f(&)=f(&+a)
令F(x)=f(x)-f(x+a),
因为f(x)在[0,2a]上连续,所以
F(x)在[0,2a]上连续,
又
F(0)=f(0)-f(a)
F(a)=f(a)-f(2a)=f(a)-f(0) (因为f(0)=f(2a))
所以
F(0)F(a)=-[f(0)-f(a)]^2
做g(x)=f(x)-f(x+a),问题等价于g在[0,a]有零点。
g(0)=f(0)-f(a)
g(a)=f(a)-f(2a)=f(a)-f(0)=-g(0)
若g(0)=0,则&=0即可。
否则,g(0)与g(a)异号,故由零点存在定理
g在[0,a]有零点,证毕。
若f(a)=f(0),则取&=0和a都满足条件f(&)=f(&+a)。
若f(a)≠f(0),令g(x)=f(x+a)-f(x),则g(0)=f(a)-f(0),g(a)=f(2a)-f(a)=f(0)-f(a),且g(x)在[0,2a]上连续。于是g(0)×g(a)=-[f(a)-f(0)]^2<0,由介值定理知在(0,a)上存在&使得f(&)=f(&+a)。
F(0)=f(0)-f(a)
F(a)=f(a)-f(2a)=f(a)-f(0) (因为f(0)=f(2a))
所以
F(0)F(a)=-[f(0)-f(a)]^2<=0
如果f(0)=f(a)显然成立!
如果不等,由零点定理一样有存在&属于(0,a),使得f(&)=f(&+a)