P为双曲线x^2/(a^2)-y^2/(b^2)=1上的一点,F为一个焦点,以PF为直径的圆与圆x^2+y^2=a^2的位置关系是答案是 内切或者外切 但是不知道为什么 求高人指点
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/08 02:58:07
P为双曲线x^2/(a^2)-y^2/(b^2)=1上的一点,F为一个焦点,以PF为直径的圆与圆x^2+y^2=a^2的位置关系是答案是 内切或者外切 但是不知道为什么 求高人指点
P为双曲线x^2/(a^2)-y^2/(b^2)=1上的一点,F为一个焦点,以PF为直径的圆与圆x^2+y^2=a^2的位置关系是
答案是 内切或者外切 但是不知道为什么 求高人指点
P为双曲线x^2/(a^2)-y^2/(b^2)=1上的一点,F为一个焦点,以PF为直径的圆与圆x^2+y^2=a^2的位置关系是答案是 内切或者外切 但是不知道为什么 求高人指点
设PF的中点为M(以PF为直径的圆的圆心)
另一个焦点为F'
△PFF'中,MO为中位线
则 |OM|=|PF'|/2=(±2a+PF)/2=±a+|PF|/2
所以圆心距=半径之和(或半径之差)
所以,两个圆 内切或者外切
设以PF为直径的圆的圆心是M,|PF1-PF2|=2a=定值,则:|MO-MF|=a=定值,即:当点P位于点F一侧的曲线上时,内切
对于点P位于焦点F所在曲线的另一支时,则是外切,方法一样的。
不妨设焦点F为(-c,0) ,其中 c >0 ,c = sqrt(a^2 + b^2)
P点可能在左边(外切)也有可能在右边(内切)
考虑P在左边时,设P点为(xp,yp) 则有xp^2 / a^2 - yp^2 / b^2 = 1
以PF为直径的圆的圆心为 H ,坐标为 ((xp -c) / 2,yp / 2)
计算 OH, 只能要证明 OH = PF / ...
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不妨设焦点F为(-c,0) ,其中 c >0 ,c = sqrt(a^2 + b^2)
P点可能在左边(外切)也有可能在右边(内切)
考虑P在左边时,设P点为(xp,yp) 则有xp^2 / a^2 - yp^2 / b^2 = 1
以PF为直径的圆的圆心为 H ,坐标为 ((xp -c) / 2,yp / 2)
计算 OH, 只能要证明 OH = PF / 2 + a 就能证明两个圆是外切。
这个证明不难,代入计算即可。
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