已知函数,f(x)=|x-a| (a>0) (1)求证f(m)+f(n)≥|m-n| (2)解不等式f(x)+f(-x)>2

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/08 12:36:45

已知函数,f(x)=|x-a| (a>0) (1)求证f(m)+f(n)≥|m-n| (2)解不等式f(x)+f(-x)>2
已知函数,f(x)=|x-a| (a>0) (1)求证f(m)+f(n)≥|m-n| (2)解不等式f(x)+f(-x)>2

已知函数,f(x)=|x-a| (a>0) (1)求证f(m)+f(n)≥|m-n| (2)解不等式f(x)+f(-x)>2
f(x)=|x-a| (a>0)
(1)
f(m)+f(n)=|m-a|+|n-a|=|m-a|+|a-n|
根据|a+b|≤|a|+|b|
∴|m-a|+|a-n|≥|m-a+a-n|=|m-n|
即f(m)+f(n)≥|m-n|
(2)
f(x)+f(-x)>2
即|x-a|+|x+a|≥2
若02
即a>1,原不等式不成立
当x>a时,原不等式即
x-a+x+a>2
x>1
当x2解得x2,2a>2恒成立
原不等式,解得-a≤x≤a
当x>a时,原不等式即
x-a+x+a>2
x>1与x>a取交集得x>a
当x2
解得x

  1. 证明

    f(m)+f(n)=|m-a|+|a-n|≧|m-a+a-n|=|m-n|

    得证

  2. f(x)+f(-x)=|x-a|+|x+a|>2

    因为a>0

    所以当x<-a时,即为a-x-x-a<2得x>-1

    若a>1,此时不等式无解;若0<a<1,解集为{x|-1<x<-a}

    当-...

    全部展开

    1. 证明

      f(m)+f(n)=|m-a|+|a-n|≧|m-a+a-n|=|m-n|

      得证

    2. f(x)+f(-x)=|x-a|+|x+a|>2

      因为a>0

      所以当x<-a时,即为a-x-x-a<2得x>-1

      若a>1,此时不等式无解;若0<a<1,解集为{x|-1<x<-a}

      当-a<x<a时,即为a-x+x+a>2,得a>1

      若a>1,此时不等式解集为{x|-a<x<a}|;若0<a<1,不等式无解

      当x>a时,即为x-a+x+a>2,得x>1

          若a>1,此时不等式解集为{x|x>a};若0<a<1,不等式无解

    收起

    (1)f(m)+f(n)=|m-a|+|n-a|≥|(m-a)-(n-a)|=|m-n|
    (2)f(x)+f(-x)>2
    即|x-a|+|-x-a|>2
    =>|x-a|+|x+a|>2成立。则
    只须|x-a|+|x+a|的最小值大于2即可。
    而|x-a|+|x+a|≥|x-(-x)|=2lxl
    =>lxl>1
    =>-1

    f(m)=|m-a|,f(n)=|n-a|
    f(m)+f(n)=|m-a|+|a-n|>=|m-a+a-n|=|m-n|
    f(x)=|x-a|,f(-x)=|x+a|
    f(x)+f(-x)=|x-a|+|x+a|>=|2x|>2
    x<-1或x>1