作业帮已知,如图,三角形ABC中,CE垂直于AB,BF垂直于AC,两条垂直线交于点G,CG=AB,求证EF平分角AEC.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/07 19:24:47
已知,如图,三角形ABC中,CE垂直于AB,BF垂直于AC,两条垂直线交于点G,CG=AB,求证EF平分角AEC.
已知,如图,三角形ABC中,CE垂直于AB,BF垂直于AC,两条垂直线交于点G,CG=AB,求证EF平分角AEC.
已知,如图,三角形ABC中,CE垂直于AB,BF垂直于AC,两条垂直线交于点G,CG=AB,求证EF平分角AEC.
不用四点共圆,可以用相似来证明：
CE垂直于AB,BF垂直于AC
∠BEG=∠BFA=90°
△BEG∽△BFA（∠ABF为公共角）
EG/AF=BG/AB
EG/AB=AF/AB
∠BAF=∠BGE=∠CGF
∠CFG=∠BFA=90°,AB=CG
△BFA≌△CFG
AF=GF,AB=CG
EG/AB=AF/AB=FG/CG
∠EGF=∠BGC
△EGF∽△BGC
∠FEG=∠FBC
FB=FC,∠BFC=90°
∠FBC=45°
∠FEG=45°
∠AEC=90°
∠AEF=45°
EF平分角AEC
这题如果不用共圆定理，貌似无法证。请看如下步骤：
1、可添加辅助线，AD垂直于BC，垂足为D
2、易证 △ABF≌△CGF，则BF = CF
∴△BCF是直角等腰三角形，∠BCF=45°
3、难证 △ABC为等腰三角形 （这步不用共圆定理很难证，你自己研究研究。关键就在此）
∴E 是AB的中点（等腰三角形底边上的高线平分底边）
4...
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这题如果不用共圆定理，貌似无法证。请看如下步骤：
1、可添加辅助线，AD垂直于BC，垂足为D
2、易证 △ABF≌△CGF，则BF = CF
∴△BCF是直角等腰三角形，∠BCF=45°
3、难证 △ABC为等腰三角形 （这步不用共圆定理很难证，你自己研究研究。关键就在此）
∴E 是AB的中点（等腰三角形底边上的高线平分底边）
4、EF = AE （直角三角形斜边的中线等于1/2斜边）
∴△AEF是等腰三角形
5、而 △AEF∽△ABC（两等腰三角形的底角相等）
∴∠AEF= ∠BCA = 45°
∴EF 平分直角AEC
收起
证明：∵CE垂直于AB，BF垂直于AC
∴∠ABF=FCG，∠AFB=∠GFC=90°
∵CG=AB
∴△ABF≌△GCF
∴BF=FC
∴∠FBC=FCB=45°
∵在四边形BCFE中，∠BFC=∠BEC
∴四边形BCFE共园
∴∠FEC=∠FBC=45°
∵∠AEF=∠AEC-∠FEC=90°-45°=45°=∠FEC
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证明：∵CE垂直于AB，BF垂直于AC
∴∠ABF=FCG，∠AFB=∠GFC=90°
∵CG=AB
∴△ABF≌△GCF
∴BF=FC
∴∠FBC=FCB=45°
∵在四边形BCFE中，∠BFC=∠BEC
∴四边形BCFE共园
∴∠FEC=∠FBC=45°
∵∠AEF=∠AEC-∠FEC=90°-45°=45°=∠FEC
∴EF平分角AEC
收起