求证(a²+b²）/（1+ab）若是一个整数,则是一个完全平方数,这怎么证明啊

求证(a²+b²）/（1+ab）若是一个整数,则是一个完全平方数,这怎么证明啊
求证(a²+b²）/（1+ab）若是一个整数,则是一个完全平方数,这怎么证明啊

求证(a²+b²）/（1+ab）若是一个整数,则是一个完全平方数,这怎么证明啊
在澳大利亚首都堪培拉举行的第29届国际数学奥林匹克（IMO）有这样一道试题（由原联邦德国命题）：
正整数a与b使得ab+1整除a2+b2.
求证：(a2+b2)/(ab+1)是某个正整数的平方.
对一般同学来说,这道题太难了,需要非常有创意的思路.当然,有兴趣的同学可以尝试去钻研一番.
为了了解这道题的难度,评委会特地请了东道国的三位数论专家,他们足足解了四个小时,就是解不出来.在这届IMO上,中国队的六位选手表现不俗,有两名学生得了金牌,其中两位金牌得主在第二试的四个半小时里完美地解出了连这题在内的三道题.
这一奇怪的现象并不难解释.解这道题所需的基本零部件不过是一元二次方程根与系数的关系而已,而这是国内任何初二学生都学过的.难点在于运用一种崭新的解题思路.而那三位数论专家用的是数论中复杂高深的定理,一些高级零部件,结果失败了.这好象生病服药一样,重要的是对症,不在于药品贵重不贵重.
那届IMO一位16岁的保加利亚女选手这道题做得很漂亮.下面就介绍她的解法
证明：设 ( a2 + b2 ) / ( ab + 1 ) = q ( q是正整数 ),①
我们来证明 q 是某一个正整数的平方.下面分两种情况讨论：
⒈　设 a = b.则 ① 式化为 2a2 / ( a2 + 1) = q,
于是 ( 2 - q ) a2 = q > 0.这样一来,只能有 2 - q > 0,即 q =1 =12.
这时 a = b = 1.
⒉　设 a ≠ b,不妨设 0 < b < a ,则
q = ( a2 + b2 ) / ( ab + 1 ) ≥ ( a2 + b2 ) / ( a2 + 1) > 1.
考察方程 x2 - bqx + b2 - q = 0 ,
它必有正整数根 a,设另一根为 a',因为 a + a' = bq 是整数,所以 a'必为整数.我们还能证明 a' 非负,否则设 a' ≤ -1,则
( a'2 + b2 ) = q ( a'b + 1 ) ≤ q ( -b + 1 ) ≤ 0,这不可能.
∵ aa'= b2 - q,∴ 0≤a' = (b2 - q) / a < ( b/a ) / b < b.
由 ( a2 + b2 ) / ( ab + 1 ) = q = ( a'2 + b2 ) / ( a'b + 1 )
可知大于 b 的 a 被换为小于 b 的 a',而商 q 不变.
辗转继续这个过程,最后将有
( a2 + b2 ) / ( ab + 1 ) = (α2 + β2) / (αβ+ 1) (α>β≥ 0),
即 ( a2 + b2 ) / ( ab + 1 ) = (α2 + 02) / (α·0 + 1) = α2
为某一正整数的平方.
如题,在《初等数论 冯志刚著》上还有类似的题目
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不懂的话欢迎追问!