如图,在三角形ABC中,角B等于90度,O是AB上一点,以O为圆心,OB为半径的圆与AB交于E,与AC切于D,直线ED交BC的延长线于F、求证:BC等于CF.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/14 14:28:17

如图,在三角形ABC中,角B等于90度,O是AB上一点,以O为圆心,OB为半径的圆与AB交于E,与AC切于D,直线ED交BC的延长线于F、求证:BC等于CF.
如图,在三角形ABC中,角B等于90度,O是AB上一点,以O为圆心,OB为半径的圆与AB交于E,与AC切于D,直线ED交BC的延长线于F、求证:BC等于CF.

如图,在三角形ABC中,角B等于90度,O是AB上一点,以O为圆心,OB为半径的圆与AB交于E,与AC切于D,直线ED交BC的延长线于F、求证:BC等于CF.

证明:连接OD,BD.
圆O切AC于D,则∠ODC=90°=∠OBC.
又OD=OB,∠2=∠1.
∴∠4=∠3.(等角的余角相等),得BC=DC.
又BE为直径,∠BDE=90°,即BD垂直DF.
∴∠CDF=∠F.(等角的余角相等).
故DC=CF.(等角对等边)
∴BC=CF.(等量代换)