在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠ADC-45°,AD=AC=1,O为AC中点,PO⊥平面ABCD,PO=2,M为PD的中(1)求多面体ABCPM的体积;(2)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/02 20:28:40
在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠ADC-45°,AD=AC=1,O为AC中点,PO⊥平面ABCD,PO=2,M为PD的中(1)求多面体ABCPM的体积;(2)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值.
在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠ADC-45°,AD=AC=1,O为AC中点,PO⊥平面ABCD,PO=2,M为PD的中
(1)求多面体ABCPM的体积;
(2)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值.
在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠ADC-45°,AD=AC=1,O为AC中点,PO⊥平面ABCD,PO=2,M为PD的中(1)求多面体ABCPM的体积;(2)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值.
第一个问题:
∵ABCD是平行四边形,∴ABCD的面积=2△ACD的面积.
∵AD=AC=1,∴∠ACD=∠ADC=45°,∴AD⊥AC,
∴△ACD的面积=(1/2)AD×AC=(1/2)×1×1=1/2,∴ABCD的面积=1.
∴P-ABCD的体积=(1/3)ABCD的面积×PO=(1/3)×1×2=2/3.
∵M是PD有中点,∴M到平面ABCD的距离=P到ABCD的距离的一半=PO/2=1,
∴M-ACD的体积=(1/3)△ACD的面积×1=(1/3)×(1/2)=1/6.
∴ABCPM的体积=(P-ABCD的体积)-(M-ACD的体积)=2/3-1/6=1/2.
第二个问题:
令DO的中点为N.
∵M、N分别是PD、DO的中点,∴MN是△PDO的中位线,∴MN∥PO,而PO⊥平面ABCD,
∴MN⊥平面ABCD,∴∠MAN为AM与平面ABCD所成的角.
∵AD⊥AO、DN=ON,∴AN=DO/2.
由勾股定理,有:DO=√(AD^2+AO^2)=√(1+1/4)=√5/2,∴AN=√5/4.
又MN=PO/2=1.
∴tan∠MAN=MN/AN=1/(√5/4)=4√5/5.
∴AM与平面ABCD所成角的正切值为 4√5/5.