在等腰三角形ABC中,底角C=72度,圆O过A,B两点且与BC相切与点B,与AC交于点D,连接BD,若AC=4,求BC.（AB不是直径）

在等腰三角形ABC中,底角C=72度,圆O过A,B两点且与BC相切与点B,与AC交于点D,连接BD,若AC=4,求BC.（AB不是直径）
在等腰三角形ABC中,底角C=72度,圆O过A,B两点且与BC相切与点B,与AC交于点D,连接BD,若AC=4,求BC.（AB不是直径）

在等腰三角形ABC中,底角C=72度,圆O过A,B两点且与BC相切与点B,与AC交于点D,连接BD,若AC=4,求BC.（AB不是直径）
∵AB=AC,∠C=72°
∴∠A=36°
圆O过AB两点且BC切于B
∴∠CBD=∠A=36°
∴∠ABD=36°
∴AD=BD
∠BDC=72°
BC=BD
∴△ABC∽△BCD
∴BC^ 2=CD•AC=（AC-BC）AC
∴BC^ 2+4BC-16=0
∴BC=2√ 5-2

四倍的根二

因为BC和圆相切
所以 角CBD=角CAB （弦切角定理）
所以 三角形CBD相似于三角形CAB
所以CD/BC=BC/AC=BD/AD
即 CD/BC=BC/4=BD/(4-CD) （1）式
又因为ABC是等腰三角形
过A点作BC边上的高交BC于H
则 BH=HC=AC*cos72°
所以 BC=8cos72° 代...

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因为BC和圆相切
所以 角CBD=角CAB （弦切角定理）
所以 三角形CBD相似于三角形CAB
所以CD/BC=BC/AC=BD/AD
即 CD/BC=BC/4=BD/(4-CD) （1）式
又因为ABC是等腰三角形
过A点作BC边上的高交BC于H
则 BH=HC=AC*cos72°
所以 BC=8cos72° 代入（1）式第一个等号
得 CD=BC方/4=16cos72°cos72° 再代入（1）式第二个等号
得 BD=(4-CD)BC/4=1.53

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